Το πειρατικό παράδοξο: Πως ο καπετάνιος κράτησε το 98% του θησαυρού χωρίς να εξεγερθεί το πλήρωμα

Πέντε πειρατές (οι Α, Β, Γ, Δ, Ε) εντοπίζουν ένα σεντούκι μέσα στο οποίο περιέχονται 100 λίρες. Καπετάνιος θεωρείται ο πειρατής Α ο οποίος καλείται να προτείνει με τι τρόπο θα πρέπει να μοιραστεί ο θησαυρός στο πλήρωμα. Για να περάσει η πρόταση του, ο καπετάνιος χρειάζεται να ψηφίσει υπέρ του η πλειοψηφία του πληρώματος ή έστω να υπάρξει ισοπαλία.

Αν όμως η πλειοψηφία απορρίψει την πρότασή του, τότε ο καπετάνιος «θα περπατήσει στη σανίδα», θα τον ρίξουν δηλαδή στη θάλασσα οι υπόλοιποι πειρατές και καπετάνιος θα αναλάβει ο επόμενος στη διαδοχή, που είναι ο Β. Ο Β στη συνέχεια θα πρέπει να κάνει και αυτός μία πρόταση η οποία θα τεθεί προς ψήφιση, όπως και η πρώτη, με τις ίδιες επιπτώσεις αν απορριφθεί. Η σειρά διαδοχής των πειρατών για τη θέση του καπετάνιου είναι η εξής: Α-Β-Γ-Δ-Ε.

Στο πρόβλημα αυτό, οι πειρατές θεωρούνται λογικά όντα που αρχικά στοχεύουν στην επιβίωση τους και στη συνέχεια στη μεγιστοποίηση των κερδών τους. Οι πειρατές δεν μπορούν συνεργαστούν ούτε να συνάψουν κάποια συμφωνία μεταξύ τους. Επιπλέον, επειδή είναι πειρατές, αν μπορούν να ρίξουν κάποιον στη θάλασσα για ψυχαγωγικούς λόγους χωρίς να επηρεάζεται το κέρδος τους θα το πράξουν. Το ερώτημα είναι με ποιον τρόπο θα πρέπει να προτείνει ο καπετάνιος Α να μοιραστεί ο θησαυρός ώστε αφενός να γλυτώσει το κεφάλι του και αφετέρου να αποκομίσει το μέγιστο δυνατό κέρδος από τις λίρες.

Τα προφανή σενάρια

Μια πρώτη σκέψη θα ήταν ο θησαυρός να μοιραστεί το ίδιο στους πέντε πειρατές. Είναι το σύνηθες σε τέτοιες περιπτώσεις και μοιάζει δίκαιο εξασφαλίζοντας στον καπετάνιο τη ζωή του. Το πρόβλημα όμως είναι ότι αυτή η πρόταση περιέχει κάποια σπατάλη για τον καπετάνιο αφού στην τελική χρειάζεται μόνο δύο από τις τέσσερις διαθέσιμες ψήφους των πειρατών. Ποιος ο λόγος λοιπόν να δώσει μερίδιο σε όλους; Άλλωστε η δεύτερη συνθήκη του προβλήματος απαιτεί ο εκάστοτε καπετάνιος να προσπαθεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος του.

Αφού η ισότιμη μοιρασιά απορρίφθηκε για τον προαναφερθείσα λόγο, η αμέσως επόμενη λογική σκέψη θα ήταν ίσως ο καπετάνιος να μοιράσει το θησαυρό στα τρία και να δώσει τα δύο από τα μερίδια σε δύο πειρατές από το πλήρωμα, εξασφαλίζοντας την ψήφο τους που σε συνδυασμό με τη δική του του δίνουν την πολυπόθητη πλειοψηφία. Ούτε αυτή η λύση όμως ικανοποιεί τον καπετάνιο. Μπορεί πλέον να κρατάει το 1/3 του θησαυρού και όχι το 1/5 όπως στην πρώτη περίπτωση, όμως και πάλι έχει παραδώσει το μεγαλύτερο ποσοστό των λιρών στο πλήρωμα του. Στην τελική είναι πειρατής και αν μπορεί να κρατήσει ολόκληρο τον θησαυρό για τον εαυτό του θα το κάνει.

 σορροπία Νας και θεωρία παιγνίων

Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί μία από τις διασημότερες εφαρμογές της θεωρίας παιγνίων, η λύση της οποίας καταδεικνύει την ισορροπία Νας. Η ισορροπία Νας, η οποία όταν είχε πρωτοδιατυπωθεί προκάλεσε αρκετές συζητήσεις και διαφωνίες, αναφέρει ότι σε κάθε παίγνιο στο οποίο συμμετέχει πεπερασμένος αριθμός παικτών με πεπερασμένο πλήθος ενεργειών, υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο στο οποίο όλοι οι παίκτες δύναται να λάβουν την ορθότερη απόφαση για τον εαυτό τους σε σύγκριση με τις αποφάσεις που έχουν λάβει οι αντίπαλοι.

Δηλαδή η στρατηγική που επιλέγει ο κάθε παίκτης είναι η καλύτερη απάντηση στην στρατηγική κάθε άλλου παίκτη. Η κατάσταση κατά την οποία ισχύει η παραπάνω συνθήκη ονομάζεται σημείο ισορροπίας. Το σημείο ισορροπίας δεν αναφέρεται στην βέλτιστη στρατηγική που μπορεί να ακολουθήσει ένας παίκτης αλλά την αλληλεπίδραση των στρατηγικών όλων των παικτών ώστε αν αυτές συγκρουστούν να μπορούν να κριθούν, χωρίς καμία εξαίρεση, ως οι καλύτερες δυνατές για τον καθένα.

Το πρόβλημα από την… ανάποδη

Για να βρεθεί το σημείο ισορροπίας στο πρόβλημα των πέντε πειρατών, θα βόλευε να μελετηθεί αυτό από το τελευταίο του χρονικά σενάριο. Ποιο είναι αυτό; Το να έχουν επιβιώσει μόνο οι πειρατές Δ και Ε (οι υπόλοιποι προηγούνταν στην διαδοχή και τους έριξαν στη θάλασσα). Τι πρόκειται να συμβεί σε αυτό το ενδεχόμενο; Ο πειρατής Δ θα προτείνει να κρατήσει ο ίδιος ολόκληρο τον θησαυρό (Δ:100, Ε:0) και επειδή στα δύο άτομα του αρκεί μόνο μία ψήφος, η δική του, η πρόταση που κάνει περνάει. Σε αυτή την περίπτωση ο πειρατής Ε μένει χωρίς μερίδιο οπότε δεν θέλει με τίποτα να φθάσει η λύση σε ψηφοφορία των δύο.

Στο προηγούμενο στάδιο υπάρχουν τρεις πειρατές, οι Γ, Δ και Ε. Ο Ε δεν θέλει να βρεθεί μόνος του με τον Δ επειδή δεν θα πάρει τίποτα, οπότε αν ο πειρατής Γ του δώσει έστω μία λίρα θα ψηφίσει την πρόταση του επειδή είναι καλύτερη από αυτή που θα του κάνει ο Δ στο επόμενο στάδιο. Το σενάριο (Γ:99, Δ:0, Ε:1) ψηφίζεται από τους Γ και Ε και προκρίνεται. Ο Δ ,που δεν παίρνει το παραμικρό από τον θησαυρό, θα πρέπει στα προηγούμενα χρονικά στάδια να κάνει κάτι για να αποφύγει την ψηφοφορία των τριών.

Ένα βήμα προγενέστερα έχουμε τους πειρατές Β, Γ, Δ και Ε. Ο Δ δεν θέλει να βρεθεί μεταξύ των Γ και Ε επειδή δεν θα του δώσουν καμία λίρα, οπότε αρκεί να πάρει μία λίρα από τον Β για να ψηφίσει την πρόταση του. Το σενάριο δηλαδή (Β:99, Γ:0, Δ:1, Ε:0) ψηφίζεται από δύο πειρατές και λόγω της ισοπαλίας η πρόταση περνάει. Οι πειρατές Γ και Ε δεν παίρνουν μερίδιο σε αυτό το σενάριο οπότε πρέπει να αποφύγουν να φθάσουν σε ψηφοφορία των τεσσάρων.

Και τώρα φθάνουμε στο πρώτο στάδιο. Στην αφετηρία του προβλήματος, εκεί που ο καπετάνιος Α καλείται να προτείνει τον τρόπο που θα μοιραστεί ο θησαυρός. Ο καπετάνιος έχοντας υπολογίσει τα παραπάνω και γνωρίζοντας ότι ως λογικά όντα και οι υπόλοιποι πειρατές έχουν κάνει το ίδιο, γνωρίζει ότι οι Γ και Ε δεν θέλουν να δοθεί η δυνατότητα στον πειρατή Β να θέσει την πρόταση του προς ψήφιση επειδή έτσι δεν θα πάρουν τίποτα από τον θησαυρό.  Ο καπετάνιος Α λοιπόν δίνει από μία λίρα στους Γ και Ε, εξασφαλίζει την ψήφο τους και το σενάριο (Α:98, Β:0, Γ:1, Δ:0, Ε:1) ψηφίζεται. Έχει καταφέρει να κρατήσει το 98% του θησαυρού και παράλληλα να σώσει τη ζωή του.

Το σημείο ισορροπίας και οι προϋποθέσεις γύρω από αυτό

Στη λύση (Α:98, Β:0, Γ:1, Δ:0, Ε:1) κάθε πειρατής λαμβάνει την ορθότερη απόφαση για τον εαυτό του. Ο Α προτείνει να κρατήσει 98 λίρες που είναι η μέγιστη ποσότητα θησαυρού που μπορεί να αποκομίσει χωρίς να εκτελεστεί. Οι Β και Δ, στους οποίους δεν δίνεται μερίδιο, ορθά κάνουν και ψηφίζουν «όχι» ενώ οι Γ και Ε ψηφίζουν «ναι» γνωρίζοντας ότι αν ο Α εκτελεστεί κερδισμένοι στον επόμενο γύρο θα είναι οι Β και Δ (Β:99, Γ:0, Δ:1, Ε:0).

Αν σε άλλο σενάριο ο πειρατής Α πρότεινε να δοθεί η μία λύρα σε κάποιον από τους Β και Δ αντί για τους Γ και Ε, τότε ο Β θα ψήφιζε «όχι» αφού στον επόμενο γύρο θα μπορούσε να πάρει 99 λίρες ενώ ο Δ θα ψήφιζε και εκείνος «όχι» επειδή παίρνοντας την ίδια ποσότητα θησαυρού που θα πάρει και στον επόμενο γύρο, θα προτιμούσε, όπως όρισε η εκφώνηση του προβλήματος, να δει τον καπετάνιο Α να ρίχνεται στη θάλασσα.

Αν από την άλλη ο πειρατής Α για κάποιο λόγο προτείνει να πάρει λιγότερες λίρες ο ίδιος, δεν θα έχει πάρει την καλύτερη δυνατή απόφαση αφού δεν θα έχει πιάσει το μέγιστο δυνατό του κέρδος.

Αντίστοιχα, το πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί και για πλήρωμα μεγαλύτερο των 5 πειρατών, με το ποσοστό κέρδους όμως του πρώτου καπετάνιου να μειώνεται σταδιακά όσο αυξάνονται κατά δύο οι πειρατές του πληρώματος.

Μη-συνεργατικά παιχνίδια

Το πειρατικό παράδοξο παρουσιάζει μια ανατροπή σε σχέση με αυτό θα περίμενε κάποιος στην αρχή. Σε πρώτη ανάγνωση φαίνεται ότι ο εκάστοτε καπετάνιος βρίσκεται σε μειονεκτική θέση και ότι θα πρέπει να παραδώσει το μεγαλύτερο κομμάτι του θησαυρού προκειμένου να γλυτώσει τη ζωή του. Αυτό δεν συμβαίνει όμως. Μάλιστα παρατηρείται το αντίθετο, ότι ο καπετάνιος δηλαδή διατήρησε την συντριπτική πλειοψηφία των λιρών του θησαυρού.

Αυτό συμβαίνει κυρίως επειδή έχουμε να κάνουμε με ένα μη-συνεργατικό παιχνίδι. Κάθε παίκτης σε τέτοια παιχνίδια θέλει να αντικρούσει ή να κατατροπώσει την στρατηγική του αντιπάλου χωρίς να υπάρχει δυνατότητα συνεργασίας μεταξύ δύο ή περισσότερων παικτών είτε  επειδή δεν υπάρχει η διάθεση είτε διότι δεν το επιτρέπουν οι συνθήκες.

Στην περίπτωση που στους πειρατές επιτρεπόταν και ήθελαν να συνεργαστούν τα σενάρια θα ήταν πολύ περισσότερα και η εξέλιξη σίγουρα διαφορετική καθώς κανένας πειρατής δεν θα συμβιβαζόταν με το 1% των ευρημάτων.