Ένας θανατοποινίτης υπολογίζει την πιθανότητα να επιβιώσει...

Το πρόβλημα των τριών φυλακισμένων

Τρεις φυλακισμένοι (οι κρατούμενοι Α, Β και Γ) είναι καταδικασμένοι σε θάνατο και φρουρούνται σε διαφορετικά γειτονικά κελιά περιμένοντας την ημέρα της εκτέλεσης τους. Μια μέρα πριν έρθει αυτή, ο δικαστής της κοινότητας στην οποία ανήκει η φυλακή, αποφασίζει να δώσει χάρη στον έναν από τους τρεις. Στους φυλακισμένους δεν ανακοινώνεται ποιος έλαβε τη χάρη παρά μόνο το γεγονός ότι αύριο κάποιος από αυτούς δεν θα εκτελεστεί.

Ο φύλακας που θα φρουρήσει τη νύχτα τους τρεις κρατουμένους και γνωρίζει σε ποιον έχει δοθεί η χάρη, δεν έχει δικαίωμα να τους το αποκαλύψει. Ο κρατούμενος Α, ο οποίος αγωνιά για την τύχη του , φωνάζει τον φύλακα και του κάνει την εξής πρόταση:

«Ξέρω ότι δεν μπορείς να μου αποκαλύψεις ποιος από εμάς έχει λάβει τη χάρη. Πες μου όμως τον έναν από τους δύο που πρόκειται να εκτελεστεί αύριο χωρίς να αναφέρεις το δικό μου όνομα. Αν έχει λάβει χάρη ο Β, πες μου ότι θα εκτελεστεί ο Γ. Αν έχει λάβει χάρη ο Γ, πες μου ότι θα εκτελεστεί ο Β. Και αν έχω λάβει χάρη εγώ, διάλεξε τυχαία έναν από τους Β και Γ και πες μου ότι θα εκτελεστεί εκείνος.»

O φύλακας το σκέφτεται και του απαντάει ότι θα εκτελεστεί ο Γ. Ο Α τότε πλησιάζει τον τοίχο που τον χωρίζει με τον άλλο κρατούμενο, τον Β, και του λέει αυτό που του αποκάλυψε ο φύλακας. Ο Α καταλήγει στο συμπέρασμα ότι με τον Γ να οδηγείται σίγουρα στην εκτέλεση, έχουν πλέον μαζί με τον κρατούμενο Β από 50% πιθανότητα ο καθένας να έχει λάβει τη χάρη. Ο κρατούμενος Β το σκέφτεται λίγο παραπάνω και συνειδητοποιεί ότι η πιθανότητα να έχει λάβει χάρη ο ίδιος δεν είναι 50%, αλλά 66,66%.

Αξιολόγηση πληροφοριών

Βομβαρδιζόμαστε καθημερινά με εκατοντάδες πληροφορίες, για ελάχιστες από αυτές όμως μπορούμε να είμαστε σίγουροι για την αξιοπιστία τους. Και ενώ μια ψεύτικη πληροφορία είναι πιθανό να δημιουργήσει σωρεία αρνητικών συνεπειών, πολλές φορές, μια ελλιπής πληροφόρηση μπορεί να αποδειχθεί ακόμη χειρότερη.

Για παράδειγμα, μια επιχείρηση που παρουσιάζεται ότι κάθε χρόνο είναι επικερδής κατά εκατομμύρια ευρώ αποκρύπτοντας εσκεμμένα όμως ότι πρέπει να καταβάλλει τα περισσότερα από αυτά για να καλύψει τα χρέη της αρχικής της επένδυσής, δημιουργεί μία λάθος εικόνα σχετικά με την πραγματική οικονομική κατάσταση της εταιρείας. Ακόμη και αν τα νούμερα στα έσοδα της αληθεύουν και είναι όντως τόσο εντυπωσιακά.

Η διαφωνία των φυλακισμένων

Η διαφωνία που παρουσιάστηκε στο παραπάνω πρόβλημα προκύπτει από το γεγονός ότι κάποιος από τους δύο κρατούμενους έχει ερμηνεύσει λάθος την πληροφορία που έδωσε ο φύλακας. Αρχικά, και πριν την συνομιλία του φύλακα με τον κρατούμενο Α, κάθε φυλακισμένος ήξερε ότι έχει 33,33% πιθανότητα να αποδοθεί σε αυτόν η χάρη.

Ο φύλακας όμως, αποκάλυψε στον κρατούμενο Α ότι ο Γ επρόκειτο να εκτελεστεί. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα επιβίωσης του Γ μηδενίστηκε (δεν υπάρχει περίπτωση να έχει λάβει χάρη αφού αύριο θα είναι από αυτούς που θα εκτελεστούν) και το δικό του 33,33% θα έπρεπε να μοιραστεί ανάλογα στους κρατουμένους Α και Γ.  Το ανάλογα όμως εδώ μόνο ανάλογα δεν είναι και δεν μεταφράζεται σε 50-50. Και αυτό επειδή ο κρατούμενος Α έθεσε με τέτοιο τρόπο την ερώτηση στον φύλακα που τον έφερε σχεδόν προ τετελεσμένης απάντησης.

Ο φύλακας μπορούσε να δώσει στην απάντηση του μόνο τα ονόματα των κρατουμένων Β ή Γ (με πιθανότητα μάλιστα 50% το καθένα, δηλαδή σαν να στρίβει ένα νόμισμα και να λέει στην τύχη κάποιο όνομα), γεγονός το οποίο δεν θα μπορούσε να προσφέρει καμία πληροφόρηση για την τύχη του Α. Ο Α ήξερε από την αρχή ότι τουλάχιστον ένας εκ των Β και  Γ επρόκειτο να εκτελεστεί. Ο φύλακας απλά του αποκάλυψε ποιος θα είναι αυτός. Πληροφορία που για τον ίδιο τον κρατούμενο Α δεν έχει καμία αξία.

Ο κρατούμενος Α, έχοντας αποκλείσει το όνομα του από τις πιθανές απαντήσεις του φύλακα έχει καταφέρει να μείνει και απέξω από την όποια ουσιαστική πληροφόρηση για την τύχη του. Και από την στιγμή που ο κρατούμενος Α δεν αποκτά καμία πληροφορία για το μέλλον του, το ποσοστό επιβίωσής του δεν μεταβάλλεται καθόλου. Συνεπώς, όλο το ποσοστό επιβίωσης του Γ μεταβιβάζεται στον κρατούμενο Β και ο Β πλέον είναι το φαβορί να του απονεμηθεί η χάρη με πιθανότητα 66,66%.

Το πρόβλημα με τη βοήθεια ενός πίνακα

Όλα τα πιθανά ενδεχόμενα του προβλήματος παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Κρατούμενος που έλαβε χάρη	Ο φύλακας λέει ότι θα εκτελεστεί ο Β	Ο φύλακας λέει ότι θα εκτελεστεί ο Γ	Πιθανότητα Επιβίωσης
Α	1/3 (η πιθανότητα ο Α να έχει λάβει χάρη)∙ 1/2(ο φύλακας επιλέγει τυχαία έναν εκ των Α και Β) = 1/6	1/6 (ίδια εξήγηση με την διπλανή στήλη)	1/3= 33,33%
Β	0	1/3	1/3= 33,33%
Γ	1/3	0	1/3= 33,33%

Όπως φαίνεται στις δύο μεσαίες κάθετες στήλες, όταν ο φύλακας αποκαλύπτει κάποιο όνομα, οι πιθανότητες επιβίωσης του Γ ή του Β (ανάλογα με το όνομα που έχει αποκαλυφθεί από τον φύλακα) είναι και στις 2 περιπτώσεις διπλάσιες από εκείνες του Α.

Στην περίπτωση λοιπόν κατά την οποία ο φύλακας λέει ότι θα εκτελεστεί ο κρατούμενος Γ, όπως γίνεται στο παράδειγμα παραπάνω, παρατηρείται ότι οι πιθανότητες του Β να έχει λάβει τη χάρη είναι 1/3 ενώ του Α είναι 1/6. Αν αυτό αντιστοιχιστεί σε ποσοστό 100%, προκύπτει ότι ο Α θα έχει 33,33% πιθανότητα να επιζήσει της εκτέλεσης, ενώ ο Β θα έχει το διπλάσιο ποσοστό, δηλαδή 66,66%.

Τα λάθη του θανατοποινίτη

Το πρώτο λάθος του κρατουμένου Α ήταν να αποκλείσει τον εαυτό του από τις πιθανές απαντήσεις του φύλακα. Με τον τρόπο αυτό μηδένισε την πιθανότητα να ακουστεί το όνομα του, κάνοντας την αναμονή του πιο ευχάριστη και ταυτόχρονα μετατρέποντας την πληροφόρηση που θα προερχόταν από τον φύλακα σε μεροληπτική και μη αξιοποιήσιμη.

Κανονικά ο φύλακας, άσχετα με το αν ο ίδιος επέλεγε από ευγένεια ή στρατηγική να μην πει το όνομα του Α, έπρεπε να έχει τρεις επιλογές και 33,33% πιθανότητα να αποκαλύψει οποιοδήποτε όνομα. Ο αποκλεισμός όμως του Α από τις δυνατές απαντήσεις κατέστησαν την πληροφορία μη χρήσιμη για συμπεράσματα σχετικά με το μέλλον του συγκεκριμένου κρατουμένου.

Στο σημείο αυτό, ο κρατούμενος προχώρησε και σε δεύτερο λάθος. Χρησιμοποίησε την αποκάλυψη που του έκανε ο φύλακας προκειμένου να υπολογίσει τις δικές του πιθανότητες επιβίωσης. Αφενός δηλαδή  μερολήπτησε προς όφελος του (αφού έθεσε την ερώτηση έτσι ώστε να μην μάθει με κανένα τρόπο ότι αυτός εκτελείται), αφετέρου πίστεψε ότι μαθαίνοντας το όνομα ενός άλλου κρατουμένου που θα εκτελεστεί θα βελτιώσει τις πιθανότητες της δικής του επιβίωσης.

Το θέμα είναι ότι η αξία κάθε πληροφορίας, και αυτό πολλές φορές προσδιορίζει την αξιοπιστία και την αμεροληψία της ειδικά όταν  πρόκειται για κάποιο παιχνίδι τύχης, είναι τόση όση και η μεταβολή που προκαλεί στην πιθανότητα για την οποία ενδιαφερόμαστε..