Γιατί ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν μπορεί να συλλάβει το άπειρο

Εισαγωγή στο άπειρο

Τι κοινό έχουν οι αριθμοί 1,2,3,4,5...; Ονομάζονται όλοι φυσικοί. Ο προσδιορισμός των αριθμών αυτών με τον όρο «φυσικός» δεν γίνεται τυχαία καθώς είναι οι αριθμοί που συναντάμε συχνότερα στη φύση και γίνονται ευκολότερα αντιληπτοί από τον ανθρώπινο εγκέφαλο. Οποιοσδήποτε άλλος αριθμός πέρα των φυσικών δεν είναι το ίδιο εύκολο να κατανοηθεί από την ανθρώπινη νόηση.

Σε απόδειξη του προηγούμενου, καινοτόμοι μαθηματικοί της αρχαιότητας και των νεότερων χρόνων που παρατήρησαν ότι οι φυσικοί αριθμοί ίσως δεν είναι οι μόνοι που υπάρχουν, αποδοκιμάστηκαν, απαξιώθηκαν και κάποιοι εξ αυτών δεν είχαν και την καλύτερη κατάληξη μετά την ανακάλυψη τους. Όπως ο Ίππασος, μαθητής του Πυθαγόρα, ο οποίος λέγεται ότι δολοφονήθηκε επειδή παρατήρησε την ύπαρξη των άρρητων αριθμών. Μια έννοια που δεν μπορούσε να κατανοήσει τότε ούτε ο ίδιος ο... Πυθαγόρας, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και φιλοσόφους της Ιστορίας.

Αν την ίδια στιγμή σκεφτούμε ότι οι αρνητικοί αριθμοί έγιναν αποδεκτοί στην Ευρώπη γύρω στον 17ο αιώνα μ.Χ, καταλαβαίνουμε ότι η αποδοχή της ύπαρξης άπειρων πραγματικών αριθμών θα πρέπει να θεωρείται κάτι ριζοσπαστικό. Μην ξεχνάμε ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι προγραμματισμένος να αντιλαμβάνεται έναν 3-διαστατο κόσμο πεπερασμένων χρονικά καταστάσεων, με βασικότερο παράδειγμα την διάρκεια της ίδιας της ζωής.

Για να γίνει ευκολότερα κατανοητό το… μέγεθος του απείρου, ο Hilbert, ένας Γερμανός μαθηματικός του 19ου αιώνα, διατύπωσε το παράδειγμα ενός ξενοδοχείου με άπειρη χωρητικότητα.

Το ξενοδοχείο με τα άπειρα δωμάτια

Ένα ξενοδοχείο αποτελείται από άπειρα δωμάτια και άπειρους ορόφους. Όταν σε κάποια χρονική στιγμή το ξενοδοχείο θωρείται «πλήρες»,  στην υποδοχή καταφθάνει άλλος ένας πελάτης. Μιας και το ξενοδοχείο διατηρεί την φήμη ότι έχει άπειρη χωρητικότητα δεν μπορεί ποτέ να θεωρηθεί «απολύτως πλήρες» οπότε ο ξενοδοχοϋπάλληλος πρέπει να βρει ένα δωμάτιο να διαθέσει στον νέο πελάτη. Όμως το γεγονός ότι έχει ήδη δοθεί άπειρος αριθμός δωματίων κάνει δύσκολο τον εντοπισμό του πρώτου διαθέσιμου αριθμημένου δωματίου για να  τοποθετηθεί εκεί ο νέος επισκέπτης.

Αυτό που σκέφτεται τελικά ο υπάλληλος, είναι να ελευθερώσει το δωμάτιο «1», μετατοπίζοντας τον πελάτη που διαμένει εκεί στο δωμάτιο «2». Αντίστοιχα, τον πελάτη του «2» τον στέλνει στο δωμάτιο «3». Αυτό το κάνει με όλους τους πελάτες και αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια για να ικανοποιηθούν όλοι, ο καθένας βρίσκεται μετατοπισμένος στο δωμάτιο «ν+1» από το «ν» που διέμενε αρχικά. Τώρα το δωμάτιο «1» είναι διαθέσιμο να υποδεχτεί τον νέο του επισκέπτη.

Αντίστοιχα, αν για παράδειγμα έρθουν στο ξενοδοχείο 100 νέοι πελάτες, τότε κάθε ένας από τους παλιούς θα μετακομίσει στο δωμάτιο «ν+100» ώστε τα 100 πρώτα αριθμημένα δωμάτια να δοθούν στους νέους πελάτες. Αυτό συμβαίνει για τον απλούστατο λόγο ότι ο ξενοδοχοϋπάλληλος δεν μπορεί να γνωρίζει, έχοντας θεωρητικά δεσμεύσει ήδη άπειρο αριθμό δωματίων, σε ποιο δωμάτιο πρέπει να στείλει τους νέους επισκέπτες μιας και τα δωμάτια μέχρι και το… άπειρο θεωρούνται κατειλημμένα.

Τι θα συμβεί όμως τώρα αν ξαφνικά, αντί για ένα καινούριο πελάτη, φθάσει στο ξενοδοχείο ένα λεωφορείο μέσα στο οποίο υπάρχουν άπειροι το πλήθος καινούριοι πελάτες; Λόγω του ότι ο αριθμός των καινούριων πελατών σε αυτή την περίπτωση είναι άπειρος και όχι πεπερασμένος, η λύση της μετατόπισης των παλιότερων πελατών σε διπλανά δωμάτια δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Θα έπρεπε κάθε ένας από αυτούς να μετακομίσει στο «ν+άπειρο» δωμάτιο, κάτι το οποίο όμως δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί σαν ποσότητα.

Η ιδέα του ξενοδοχοϋπαλλήλου αυτή τη φορά είναι η εξής και βασίζεται στο θεώρημα των άπειρων άρτιων και άπειρων περιττών αριθμών: Σύμφωνα με αυτό, αφού υπάρχουν άπειροι άρτιοι και άπειροι περιττοί φυσικοί αριθμοί, θα τοποθετήσει τους παλιούς πελάτες στα δωμάτια με άρτιους αριθμούς και τους νέους σε δωμάτια με περιττούς.

Έτσι, οι παλιότεροι πελάτες θα μένουν στα δωμάτια «2», «4», «6», «8», «10»… και οι καινούριοι πελάτες στα «1», «3», «5», «7», «9»… Με τον ίδιο τρόπο, για κάθε νέο λεωφορείο άπειρων επισκεπτών που θα φθάνει στο ξενοδοχείο μπορεί να γίνεται η μετατόπιση των παλιών πελατών στα άρτια δωμάτια ώστε να ελευθερώνονται κάθε φορά αυτά με περιττό αριθμό.

Μια τρίτη περίπτωση και πιο δύσκολη από τις προηγούμενες είναι αντί για ένα λεωφορείο με άπειρους πελάτες να φθάσουν ταυτόχρονα στο ξενοδοχείο άπειρα σε αριθμό λεωφορεία τα οποία θα μεταφέρουν με τη σειρά τους άπειρους το πλήθος πελάτες το καθένα. Κάπου εδώ  αρχίζει να γίνεται σε μεγαλύτερο βαθμό αντιληπτή η δυσκολία της κατανόησης της έννοιας του απείρου την ώρα που βρισκόμαστε ακόμη απλά σε πλήθος… φυσικών αριθμών.

Ο ξενοδοχοϋπάλληλος βρίσκει και σε αυτή την περίπτωση πάντως την λύση βασιζόμενος αυτή τη φορά σε ένα άλλο θεώρημα, στο θεώρημα των άπειρων πρώτων αριθμών. Πρώτοι αριθμοί λέγονται όσοι έχουν μοναδικούς διαιρέτες την μονάδα και τον εαυτό τους. Τέτοιοι είναι οι 1,2,3,5,7, 11,13,17,... Το 4 για παράδειγμα δεν είναι πρώτος αριθμός καθώς εκτός από το 1 και το 4 διαιρείται και από το 2.

Στηριζόμενος λοιπόν στο θεώρημα της ύπαρξης άπειρων πρώτων αριθμών, ο υπάλληλος του ξενοδοχείου τοποθετεί τους πελάτες στα δωμάτια με τον εξής τρόπο:

Οι παλιότεροι πελάτες θα μετακομίσουν σε δωμάτια με αριθμό κάποια δύναμη του 2, για παράδειγμα στο δωμάτιο «2 εις την δεκάτη». Ο εκθέτης θα προκύπτει κάθε φορά από τον αριθμό του αρχικού δωματίου που κατείχε ο πελάτης. Δηλαδή ο πελάτης που διέμενε στο δωμάτιο 8, τώρα θα μετακομίσει στο δωμάτιο «2 εις την 8η», δηλαδή στο «256».

Οι καινούριοι πελάτες του πρώτου λεωφορείου θα τοποθετηθούν σε δωμάτια κάποιας δύναμης του 3. Για παράδειγμα ο πελάτης που καθόταν στην θέση 15, θα διαμείνει στο δωμάτιο «3 εις την 15η». Με τον ίδιο τρόπο, οι πελάτες του δεύτερου λεωφορείου θα διαμείνουν σε δωμάτια κάποιας δύναμης του επόμενου πρώτου αριθμού, που είναι το 5. Οι πελάτες του τρίτου λεωφορείου σε δωμάτια δύναμης του 7 και πάει λέγοντας.

Όπως προαναφέρθηκε υπάρχουν άπειροι το πλήθος πρώτοι αριθμοί οπότε πάντα θα βρίσκεται κάποιος διαθέσιμος για να «εξυπηρετήσει» το επόμενο λεωφορείο.

Λόγω του ότι η βάση σε κάθε μία από τις παραπάνω δυνάμεις είναι πρώτος αριθμός και ο εκθέτης φυσικός, δεν υπάρχει περίπτωση να προκύψει ίδιος αριθμός από τις δυνάμεις των διαφορετικών πρώτων, οπότε το δωμάτιο κάποιου πελάτη δεν μπορεί να ταυτιστεί με το δωμάτιο κάποιου άλλου.

Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται οι εξής άπειρες ακολουθίες:

(2, 2^2, 2^3, 2^4,…): αριθμοί των δωματίων των παλιότερων πελατών ανάλογα με το αρχικό τους δωμάτιο

(3, 3^2, 3^3, 3^4,…): αριθμοί των δωματίων των πελατών του πρώτου λεωφορείου ανάλογα με τη θέση τους στο λεωφορείο

(5, 5^2, 5^3, 5^4,…): αριθμοί των δωματίων των πελατών του δευτέρου λεωφορείου ανάλογα με την θέση τους στο λεωφορείο και ούτω καθεξής.

Εν κατακλείδι

 ο παράδειγμα του Hilbert καταπιάνεται μόνο με τους φυσικούς αριθμούς και το πώς αυτοί επεκτείνονται στο άπειρο. Η έννοια του απείρου όμως δεν αφορά μόνο αυτούς, αφορά όλους τους αριθμούς. Ανάμεσα στο 1 και το 2 για παράδειγμα υπάρχουν τόσοι πραγματικοί αριθμοί που αν κάποιος έπρεπε να μετρήσει όλα τα δευτερόλεπτα ζωής όλων των έμβιων οργανισμών που έχουν ζήσει ποτέ στον πλανήτη Γη, δεν θα προσέγγιζε ούτε κατά τη διάνοια το πλήθος αυτών των αριθμών.

Ανάμεσα στο 1 και το 2 υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί.  Όπως άπειροι είναι και οι ακέραιοι, οι ρητοί και οι άρρητοι, οι μιγαδικοί. Το ανθρώπινο μυαλό μπορεί να προσεγγίσει νοητικά την έννοια του απείρου όμως σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να την μελετήσει σε απόλυτο βαθμό καθώς ο όγκος πληροφοριών που περιέχει το δεύτερο είναι κατά πολύ μεγαλύτερος από αυτό που μπορεί να αφομοιώσει και να επεξεργαστεί το πρώτο.