«Το πρόβλημα της γραμματέως»: Ο διασημότερος γρίφος βέλτιστης διακοπής

Ένας διευθυντής αναζητά την καλύτερη υποψήφια για την κάλυψη της θέσης της γραμματέα του γραφείου του κανονίζοντας μια σειρά συνεντεύξεων προκειμένου να γνωριστεί μαζί τους. Ο διευθυντής πρέπει να αποφασίσει μετά από κάθε συνέντευξη αν θα προσλάβει ή όχι την υποψήφια την οποία έχει καλέσει την δεδομένη χρονική στιγμή.

Δεν έχει την δυνατότητα να προσλάβει κάποια υποψήφια που είχε απορρίψει σε προηγούμενη συνέντευξη ούτε έχει κάποια πληροφορία για τις υποψήφιες με τις οποίες θα συναντηθεί στο μέλλον.

Το ερώτημα είναι ποια «στρατηγική» θα πρέπει να ακολουθήσει ο διευθυντής προκειμένου να προσλάβει την κορυφαία από τις ν-υποψήφιες που έχουν αιτηθεί για τη θέση. Θεωρείται δεδομένο ότι ο διευθυντής δεν έχει καμία γνώση για τις ικανότητες κάθε υποψήφιας πριν συναντηθεί μαζί τους και ότι ο μοναδικός του στόχος είναι να αυξήσει την πιθανότητα να προσλάβει την απολύτως καλύτερη ανάμεσα σε όλες.

Ο κανόνας  του 37%

Το παραπάνω πρόβλημα ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων βέλτιστης διακοπής, μιας πολύ μεγάλης κατηγορίας προβλημάτων στον κλάδο της επιχειρησιακής έρευνας. Η αναζήτηση της καλύτερης γραμματέως μπορεί να παρομοιαστεί με την έρευνα αγοράς του καλύτερου ακινήτου ανάμεσα σε έναν μεγάλο αριθμό ακινήτων προς πώληση ή την αποδοχή της καλύτερης προσφοράς όταν είμαστε εμείς οι πωλητές σε κάποιο αγαθό ή ακόμη και με την εύρεση κατάλληλου συντρόφου ή συνεργάτη.

Το πρόβλημα της γραμματέως κίνησε στα μέσα του 20ου αιώνα το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών καθώς βρίσκει εφαρμογή σε πολλές καταστάσεις στην καθημερινότητα των ανθρώπων. Πως μπορεί κάποιος να ξεχωρίσει την καλύτερη δυνατή ευκαιρία που πρόκειται να του παρουσιαστεί, όταν δεν έχει καν ακόμη την δυνατότητα να γνωρίζει τι ακριβώς θα του προσφέρει η κάθε μία από αυτές ώστε να μπορέσει με ασφάλεια να τις αξιολογήσει και να προκρίνει την καλύτερη.

Όταν λοιπόν βρισκόμαστε σε μία τέτοια κατάσταση, δηλαδή στην προσπάθεια να επιλέξουμε το καλύτερο δυνατό σενάριο ανάμεσα σε ν-τυχαία σενάρια για τα οποία γνωρίζουμε ελάχιστα, τα μαθηματικά λένε ότι θα είμαστε πιο κοντά στην επιλογή του καλύτερου σεναρίου αν στην αρχή απορρίψουμε το 37% των πρώτων χρονικά που θα μας παρουσιαστούν.

Στο πρόβλημα της γραμματέως, ο διευθυντής θα μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να βρει την ικανότερη για την θέση υποψήφια, αν πρώτα απορρίψει το 37% των υποψηφίων με το οποίο θα συναντηθεί. Έπειτα, θα πρέπει απλά να προσλάβει την πρώτη που θα είναι καλύτερη από όσες έχει συναντήσει μέχρι εκείνη την στιγμή.

Δηλαδή, αν έχει κανονίσει 100 συνεντεύξεις με υποψήφιες, θα πρέπει να προσλάβει την καλύτερη που θα συναντήσει μετά το 37ο ραντεβού.

Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να αγνοήσει χωρίς δεύτερη σκέψη 37 υποψήφιες (στις οποίες ανάμεσα τους υπάρχει ο κίνδυνος να βρίσκεται και η καλύτερη) προκειμένου να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να προσλάβει αυτή με τα καλύτερα προσόντα. Μάλιστα, αν ακολουθήσει την συγκεκριμένη στρατηγική, η πιθανότητα να προσλάβει την καλύτερη για την θέση είναι 37%, όσο είναι δηλαδή και το ποσοστό των υποψήφιων που θα πρέπει να απορρίψει στο πρώτο στάδιο της αναζήτησης. Και αυτή αν μη τι άλλο είναι μια ενδιαφέρουσα συμμετρία για το πρόβλημα!

Ο υπολογισμός του 1/e

Μαθηματικά, το 37% προκύπτει από τον λόγο 1/e. Η πιθανότητα p να επιλέξει ο διευθυντής την καλύτερη υποψήφια ανάμεσα σε ν-υποψήφιες έχοντας βγάλει αρχικά συμπεράσματα από τις κ-πρώτες υποψήφιες, προσεγγίζεται από την συνάρτηση -p∙logp, η οποία μεγιστοποιείται στο p=1/e. Το e ισούται με 2,718… οπότε παίρνουμε p≈0,37=37%.

Με βάση το παραπάνω, ο διευθυντής έχει 37% πιθανότητα να βρει την καλύτερη υποψήφια και 63% να μην την βρει! Το 63% σίγουρα φαντάζει κάπως μεγάλο για πιθανότητα αποτυχίας ώστε να μας ικανοποιεί μια τέτοια κατάσταση, όμως αν διαλέγαμε τυχαία μία από τις 100 υποψήφιες, η πιθανότητα να διαλέγαμε την καλύτερη θα ήταν μόλις 1%.

Από την άλλη, η μέθοδος του 37% δίνει τα ίδια αποτελέσματα όσο και αν μεγαλώσει η δεξαμενή των υποψηφίων. Αυτό είναι εντυπωσιακό αν σκεφτούμε το εξής παράδειγμα: Αν έπρεπε να επιλέξουμε τον εξυπνότερο άνθρωπο ανάμεσα στους 7 δισεκατομμύρια που κατοικούν τον πλανήτη, θα έπρεπε απλά να απορρίψουμε το 37% των πρώτων που θα συναντήσουμε και αφού έπειτα επιλέξουμε από τους επόμενους τον πιο έξυπνο μέχρι εκείνη την στιγμή, θα είχαμε 37% πιθανότητες αυτός να είναι και ο εξυπνότερος άνθρωπος πάνω στη Γη.

Εν κατακλείδι

Το πρόβλημα της γραμματέως απαντάται με μία «όλα ή τίποτα» λύση. Αν η καλύτερη υποψήφια βρίσκεται στο 37% που απορρίπτουμε εξ ορισμού, τότε δεν θα βρούμε καμία καλύτερη στη συνέχεια οπότε θα αναγκαστούμε να προσλάβουμε την τελευταία υποψήφια που θα συναντήσουμε. Αυτή μπορεί να είναι χειρότερη από όλες τις προηγούμενες ή στην καλύτερη περίπτωση μπορεί να είναι η δεύτερη πιο ικανή (η πρώτη ήταν στο 37%). Όμως στο συγκεκριμένο πρόβλημα, τον διευθυντή τον ενδιαφέρει μόνο η καλύτερη. Δηλαδή αν αποτύχει να βρει αυτή, όλες οι υπόλοιπες θα τον αφήσουν με τον ίδιο βαθμό ικανοποίησης.

Φυσικά κάτι τέτοιο στις περισσότερες καταστάσεις της καθημερινότητα μας δεν μπορεί να θεωρηθεί ρεαλιστικό. Οι περισσότεροι διευθυντές θα ήταν ικανοποιημένοι αν ανάμεσα στις 100 υποψήφιες μπορούσαν να προσλάβουν κάποια από τις 10 ή ακόμη και τις 20 καλύτερες.

Παρόλα αυτά, η μέθοδος του 37% μπορεί να διδάξει πράγματα. Η ιδέα του να εξετάσουμε πρώτα ορισμένες επιλογές που έχουμε είναι σοφότερη από το να διαλέξουμε την πρώτη που θα μας παρουσιαστεί. Δεν αγοράζεις το πρώτο σπίτι που βλέπεις σε αγγελία, δεν πουλάς το αυτοκίνητο σου στην πρώτη προσφορά που δέχεσαι, δεν παντρεύεσαι τον πρώτο άνθρωπο που γνωρίζεις. Πειράματα που έγιναν βασισμένα στο πρόβλημα της γραμματέως  έχουν δείξει ότι συνήθως οι άνθρωποι διαλέγουν λίγο πιο γρήγορα από τον κανόνα του 37%. Κάποιοι άλλοι αντίθετα καθυστερούν περισσότερο από όσο πρέπει.

Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα φιλοδοξεί να δώσει μια ισορροπία σε αυτό, δηλαδή πότε πρέπει στατιστικά κάποιος να πάρει μια απόφαση και ανεξάρτητα με το αν είναι πετυχημένη ή αποτυχημένη, να μην μπορεί να θεωρηθεί βιαστική ή καθυστερημένη η επιλογή του.