Το
πόκερ αποτελεί ίσως το δημοφιλέστερο παιχνίδι με τράπουλα παγκοσμίως μέσα στο
οποίο μπορεί να βρει κανείς πολλές εφαρμογές των μαθηματικών. Αν και κάποιος θα
περίμενε ότι τα μαθηματικά στο πόκερ θα ήταν ιδιαίτερα στοιχειώδη, μιας και
πρόκειται απλά για ένα παιχνίδι καρτών, η αλήθεια είναι ότι σε αρκετά σημεία
του παιχνιδιού το πράγμα ξεφεύγει και χρειάζονται μαθηματικά εργαλεία πολύ πιο
πολύπλοκα από αυτά που μπορεί να φανταστεί ένας μέσος παίκτης.
Στο
συγκεκριμένο κείμενο θα ασχοληθούμε με κάτι απλό αλλά ταυτόχρονα βασικό για το
παιχνίδι. Αυτό είναι η μελέτη της πιθανότητας εμφάνισης κάθε συνδυασμού που
μπορεί να κερδίσει στο πόκερ. Αρχικά να διευκρινίσουμε ότι μιλάμε για παιχνίδι
52 φύλλων (μιας τράπουλας δηλαδή) που ο παίκτης σχηματίζει τυχαίες 5-αδες
χαρτιών.
Νικητής
είναι ο παίκτης που έχει καλύτερη 5-αδα φύλλων από τους αντιπάλους του, με την
δυναμική των χαρτιών να είναι προκαθορισμένη και να προκύπτει στην ουσία από
τις πιθανότητες εμφάνισης που έχει η κάθε μία.
Με
απλά λόγια, όσο πιο σπάνιος είναι ένας 5-φυλλος συνδυασμός καρτών, τόσο
περισσότερες είναι οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει μία παρτίδα.
Οι
εξοικειωμένοι με το παιχνίδι αναγνώστες δεν θα έχουν πρόβλημα να κατανοήσουν
τους συνδυασμούς των φύλλων που θα αναλυθούν παρακάτω, μπορεί όμως να έχουν
κάποια δυσκολία στην κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας πολύ σημαντικής στην
μελέτη των πιθανοτήτων στο πόκερ, αλλά και γενικότερα σε κάθε παιχνίδι με
τράπουλα.
Αυτή
είναι η έννοια των συνδυασμών. Συνδυασμοί ονομάζονται οι μη-διατεταγμένες
κ-άδες που σχηματίζονται από τα ν στοιχεία ενός συνόλου, όπου κ≤ν. Για
παράδειγμα, από μία τράπουλα 52 φύλλων(ν στοιχεία), πόσες διαφορετικές
5-αδες(κ-άδες) θα μπορούσαν να προκύψουν; (δεν μας ενδιαφέρει η σειρά που θα
έχουν τα φύλλα μέσα στην 5-αδα).
Ο
υπολογισμός του παραπάνω δίνεται από τον τύπο C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]
και
αν βάλουμε όπου n=52 και κ=5, προκύπτει ο αριθμός 2.598.960 που είναι το πλήθος
των διαφορετικών 5-αδων που προκύπτουν από μια τράπουλα 52 φύλλων. Ο αριθμός
αυτός θα μας χρειαστεί στον υπολογισμό κάθε πιθανότητας στα επόμενα
παραδείγματα.
Στο
τέλος του κειμένου παρατίθεται πίνακας στον οποίον αναγράφονται συνοπτικά οι
πιθανότητες εμφάνισης κάθε κερδοφόρου συνδυασμού στο πόκερ. Στο μεσοδιάστημα,
βρίσκεται η μαθηματική απόδειξη για κάθε έναν από όλους αυτούς τους
συνδυασμούς.
Φλος
Ρουαγιάλ: (Είναι η σειρά Α-K-Q-J-10
ίδιου χρώματος. Σαν χρώμα στο πόκερ δεν θεωρείται το μαύρο και το
κόκκινο αλλά τα τέσσερα διαφορετικά σχήματα που βρίσκονται στην τράπουλα, π.χ.
μπαστούνα, κούπες κτλ)
Υπολογισμός:
1)
Υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά χρώματα που μπορεί να εμφανιστούν, οπότε C(4,1)=4
είναι το πλήθος των συνδυασμών που προκύπτουν.
2)
Η σειρά των φύλλων είναι καθορισμένη εδώ αφού μιλάμε για την Α-K-Q-J-10.
Οπότε,
οι 5-αδες σε αυτή την περίπτωση είναι C(4,1)=4,
και
η πιθανότητα: P(Φλος Ρουαγιάλ) = 4/2.598.960 = 0.000154%
Κέντα
Χρώμα (Εκτός του Φλος Ρουαγιάλ): Είναι μια σειρά πέντε συνεχόμενων αριθμών ή
φιγούρων ίδιου χρώματος, π.χ. 2-3-4-5-6 μπαστούνι ή 7-8-9-10-J κούπα
Υπολογισμός:
1)
Δεν γίνεται να υπάρξει κέντα με ανώτερο φύλλο το 4, οπότε οι δυνατές επιλογές
για υψηλότερο φύλλο στην κέντα χρώμα είναι 9 (Κ,Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5). Ο Α
έχει αποκλειστεί αφού το φλος ρουαγιάλ υπολογίσθηκε προηγουμένως.
2)
Αφού προκύψει το μεγαλύτερο φύλλο με 9 πιθανούς τρόπους, μένει να εμφανιστεί το
χρώμα. Το πλήθος των συνδυασμών με βάση το χρώμα είναι C(4,1)=4.
Οπότε,
οι συνολικές 5-αδες που προκύπτουν εδώ είναι C(9,1)⦁C(4,1)=9⦁4=36
και
η πιθανότητα P(κέντα χρώμα εκτός του φλος ρουαγιάλ) = 36/2.598.960 = 0.00139%
Καρέ
φύλλου: 4 φύλλα ίδιου αριθμού ή φιγούρας και ένα τυχαίο να συμπληρώνει
Υπολογισμός:
1)
Υπάρχουν 13 διαφορετικοί αριθμοί ή φιγούρες στους οποίους μπορεί να γίνει το
καρέ. Η επιλογή αυτού γίνεται με C(13,1)=13 τρόπους και στην συνέχεια τα
επόμενα τρία φύλλα θεωρούνται προκαθορισμένα, αφού θέλουμε να έχουμε 4 όμοια.
2)
Το πέμπτο φύλλο θα είναι ένα τυχαίο από τα 48 εναπομείναντα.
Οπότε
οι 5-άδες σε αυτή την περίπτωση είναι C(13,1)⦁48=13⦁48=624,
και
η πιθανότητα P(καρέ φύλλου) = 624/2.598.960 = 0.0240%
Full
House: 3 φύλλα ίδιου αριθμού ή φιγούρας συμπληρώνονται από 2 άλλα φύλλα ίδιου
αριθμού ή φιγούρας διαφορετικά από τα τρία πρώτα
Υπολογισμός:
1)
Υπάρχουν 13 διαφορετικοί αριθμοί ή φιγούρες στους οποίους μπορεί να προκύψει
3-αδα ίδιων φύλλων. Η επιλογή του συγκεκριμένου φύλλου μπορεί να γίνει με
C(13,1)=13 διαφορετικούς τρόπους ενώ για την 3-αδα υπάρχουν C(4,3)=4
διαφορετικοί συνδυασμοί, ανάλογα κάθε φορά με το χρώμα των φύλλων.
2)
Στη συνέχεια αντίστοιχα, υπάρχουν 12 διαφορετικοί αριθμοί ή φιγούρες για να
προκύψει η 2-αδα των επόμενων ίδιων φύλλων και αυτή γίνεται αντίστοιχα με 12
τρόπους και C(4,2)=6 διαφορετικούς συνδυασμούς χρωμάτων.
Οπότε,
οι 5-αδες εδώ είναι C(13,1)⦁ C(4,3) ⦁C(12,1)
⦁C(4,2)=13⦁4⦁12⦁6=3744
και
η πιθανότητα P(Full House) = 3.744/2.598.960 = 0.1441%
Χρώμα
(εξαιρούνται οι συνδυασμοί με κέντα): 5 φύλλα ίδιου χρώματος
Υπολογισμός:
1)
Υπάρχουν 4 δυνατές επιλογές για το χρώμα, δηλαδή C(4,1)=4.
2)
Για το χρώμα που θα επιλεγεί υπάρχουν 13 διαφορετικά φύλλα (ίδιου χρώματος) από
τα οποία θα προκύψουν οι 5-αδες. Οι συνολικές 5-αδες που προκύπτουν από τα 13
αυτά φύλλα είναι C(13,5)=1287. Από τον αριθμό αυτό όμως θα αφαιρεθούν οι 10
συνδυασμοί που βγάζουν ταυτόχρονα και κέντα, με αποτέλεσμα να καταλήξουμε στις
1277.
Οπότε,
σε αυτή την περίπτωση οι 5-άδες είναι C(4,1)[C(13,5)-10]=4⦁1277=5108
με
P(Χρώμα) = 5.108/2.598.960 = 0.1965%
Κέντα
(εξαιρούνται οι συνδυασμοί με χρώμα): 5 φύλλα με συνεχόμενους αριθμούς ή
φιγούρες
Υπολογισμός:
1)
Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, δεν γίνεται να υπάρξει κέντα με υψηλότερο
φύλλο το 4. Άρα οι δυνατές επιλογές φύλλων για να προκύψει κέντα με αυτά σαν
υψηλότερα είναι 10 (Α, Κ , Q, J, 10, 9,
8, 7 ,6, 5).
2)
Μετά την επιλογή του υψηλότερου φύλλου τα υπόλοιπα προκύπτουν με προκαθορισμένη
σειρά. Το μόνο που μπορεί να μεταβληθεί σε κάθε ένα από τα φύλλα της 5-αδας
είναι το χρώμα. Για κάθε ένα από αυτά τα φύλλα υπάρχουν 4 χρώματα που μπορούν
να εμφανιστούν.
Οπότε,
οι 5-αδες είναι C(10,1)⦁C(4,1)⦁C(4,1)⦁C(4,1)⦁C(4,1)=10⦁4⦁4⦁4⦁4⦁4=10.240.
Σε
αυτές αφαιρούνται οι 36+4=40 συνδυασμοί κέντας-χρώματος και προκύπτει η
πιθανότητα:
P(κέντας) = 10.200/2.598.960 = 0.3925%
Τρία
όμοια: 3 φύλλα ίδιου αριθμού ή φιγούρας συμπληρώνονται από 2 φύλλα διαφορετικά
μεταξύ τους
Υπολογισμός:
1)
Υπάρχουν 13 διαφορετικοί αριθμοί ή φιγούρες από τους οποίους μπορεί να προκύψει
3-αδα όμοιων φύλλων. Η 3-αδα έπειτα μπορεί να σχηματιστεί με C(4,3)=4
διαφορετικούς συνδυασμούς χρωμάτων.
2)
Τα άλλα δύο φύλλα θα προκύψουν από συνδυασμούς των 12 υπόλοιπων αριθμών ή
φιγούρων, δηλαδή με C(12,2)=66 τρόπους. Για κάθε ένα από τα δύο αυτά φύλλα
υπάρχουν 4 διαφορετικά χρώματα που μπορεί να παρατηρηθούν.
Οπότε,
οι 5-αδες σε αυτή την περίπτωση είναι C(13,1)⦁C(4,3)⦁C(12,2)⦁C(4,1)⦁C(4,1)=13⦁4⦁66⦁4⦁4=54.912
και
η πιθανότητα: P(τρία όμοια φύλλα) = 54.912/2.598.960 = 2.1128%
Δύο
ζεύγη: 2 ζευγάρια ίδιων αριθμών ή φιγούρων και ένα τυχαίο φύλλο διαφορετικό από
τα πρώτα
Υπολογισμός:
1)
Η επιλογή των δύο διαφορετικών αριθμών ή φιγούρων από τους οποίους θα προκύψουν
τα δύο ζεύγη γίνεται με C(13,2)=78 διαφορετικούς τρόπους. Για κάθε όμοιο
ζεύγος, ανάλογα με το χρώμα των φύλλων, προκύπτουν C(4,2)=6 διαφορετικές
2-αδες. Οπότε για τα πρώτα 4 φύλλα, που σχηματίζουν τα 2 ζεύγη, έχουμε 78⦁6⦁6=2808
διαφορετικές 4-αδες.
2)
Το πέμπτο φύλλο θα επιλεγεί από τους 11 εναπομείναντες αριθμούς ή φιγούρες ενώ
μπορεί να εμφανιστεί με οποιοδήποτε από τα 4 χρώματα.
Οπότε,
οι 5-αδες με δύο ζεύγη είναι
C(13,2)⦁C(4,2)⦁C(4,2)⦁C(11,1)⦁C(4,1)=2808⦁11⦁4=123.552
και
η πιθανότητα: P(δυο ζεύγη) = 123.552/2.598.960 = 4.7539%
Ένα
ζεύγος: 2 φύλλα ίδιου αριθμού ή φιγούρας και 3 φύλλα διαφορετικά μεταξύ τους
Υπολογισμός:
1)
Υπάρχουν 13 διαφορετικοί αριθμοί ή φιγούρες για να προκύψει ο αριθμός που θα
σχηματίσει ζεύγος και ανάλογα με το χρώμα κάθε φορά προκύπτουν C(4,2)=6
διαφορετικές 2-αδες αυτού του αριθμού.
2)
Τα υπόλοιπα 3 φύλλα θα επιλεγούν από τους 12 εναπομείναντες διαφορετικούς
αριθμούς και φιγούρες με C(12,3)=220 διαφορετικούς τρόπους, ενώ επιπλέον για
κάθε ένα από αυτά τα φύλλα υπάρχουν 4 υποψήφια χρώματα.
Οπότε,
οι 5-αδες εδώ υπολογίζονται ως C(13,1)⦁C(4,2)⦁C(12,3)⦁C(4,1)⦁C(4,1)⦁C(4,1)=13⦁6⦁220⦁4⦁4⦁4=1.098.240
και
η πιθανότητα: P(ένα ζεύγος) = 1.098.240/2.598.960 = 42.2569%
Συνοπτικός πίνακας:
Συνδυασμός
|
Πιθανότητα
εμφάνισης
|
Φλος
Ρουαγιάλ
|
0.000154%
|
Κέντα Χρώμα
|
0.00139%
|
Καρέ
Φύλλου
|
0.0240%
|
Φουλ
|
0.1441%
|
Χρώμα
(χωρίς κέντα)
|
0.1965%
|
Κέντα
(χωρίς χρώμα)
|
0.3925%
|
Τρία
όμοια
|
2.1128%
|
Δυό
ζεύγη
|
4.7539%
|
Ένα
ζεύγος
|
42.2569%
|
Υψηλότερο
φύλλο
|
50.1177%
|
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου