Η θεωρία του Χάους: Πως μια ελάχιστη αιτία μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα

Ο βομβιστής

Το παράδειγμα αφορά μια πόλη 50.000 κατοίκων. Η πόλη διαθέτει σχολεία, νοσοκομεία, πολλές μικρές επιχειρήσεις που λειτουργούν υποδειγματικά, ένα μεγάλο εμπορικό κέντρο και μερικούς αρχαιολογικούς χώρους. Η οικονομία της βρίσκεται σε ένα πολύ καλό σημείο, η ανεργία είναι σε χαμηλά επίπεδα κι οι κάτοικοί της αισθάνονται ασφαλείς και ευτυχισμένοι που ζουν στη συγκεκριμένη πόλη. Αυτό είναι το «σύστημα» μας.

Οι στόχοι των κατοίκων για τα επόμενα χρόνια είναι να προσελκύσουν περισσότερους επενδυτές για την πόλη τους, να αυξήσουν τον πληθυσμό της και να ανεβάσουν τα επίπεδα του τουρισμού εκμεταλλευόμενοι τους αρχαιολογικούς τους χώρους.  Και πράγματι, οι προβλέψεις για το «σύστημα» οδηγούν ακριβώς εκεί. Οι μελετητές της περιοχής εικάζουν ότι σε 50 χρόνια, το συγκεκριμένο «σύστημα» με τις υπάρχουσες αρχικές συνθήκες, θα γνωρίσει οικονομική και πληθυσμιακή ανάπτυξη. Υπολογίζεται ότι θα ζουν στην πόλη 200.000 άνθρωποι ενώ θα έχει αναπτυχθεί και μία ισχυρή βιομηχανική παραγωγή. Τα χρήματα θα βοηθήσουν τους κατοίκους να επενδύσουν ακόμη περισσότερο στην παιδεία, στην υγειονομική τους περίθαλψη και την ασφάλεια της περιοχής τους.

Το «σύστημα» πλέον θα αφορά μία πολύ ισχυρή πόλη 200.000 κατοίκων, με σταθερή  ή αναπτυσσόμενη οικονομία, βιομηχανική ανάπτυξη και εξαιρετικές δημόσιες παροχές για όλους που την κατοικούν.

Ας επιστρέψουμε 50 χρόνια πίσω. Τότε που η πόλη, το «σύστημα», απαριθμούσε 50.000 κατοίκους. Για χάρη του παραδείγματος, οι κάτοικοι από 50.000 θα γίνουν 50.001. Μια ελάχιστη μεταβολή στον αρχικό πληθυσμό που όμως σταδιακά θα φέρει τεράστιες αλλαγές στην πορεία του συστήματος. Ο ένας κάτοικος που προστέθηκε τυχαίνει να είναι βομβιστής, ο οποίος σε κάποια στιγμή της ιστορίας ανατινάσσει το εμπορικό κέντρο και αφήνει πίσω του δεκάδες θύματα.

Το εμπορικό κέντρο κατέρρευσε και δεν ανοικοδομήθηκε ποτέ, πολλοί συγγενείς των θυμάτων εγκατέλειψαν την πόλη στην προσπάθεια τους να ξεχάσουν το γεγονός και πολλοί μαθητές, οι νέοι άνθρωποι της πόλης, δεν κατάφεραν ποτέ να ανακάμψουν πλήρως ψυχολογικά. Αρπάζοντας την ευκαιρία, κάτοικοι των διπλανών περιοχών προσπάθησαν να προσελκύσουν εκείνοι τώρα τους επενδυτές, επισημαίνοντας τους την έλλειψη ασφάλειας που υπάρχει στην πόλη των 50.000 κατοίκων.

Οι μελετητές της περιοχής, αφουγκραζόμενοι τον φόβο των κατοίκων, την μείωση του πληθυσμού και το κλείσιμο πολλών επιχειρήσεων σε συνδυασμό με την κατάρρευση του εμπορικού κέντρου για το οποίο δεν υπήρχε διάθεση να ανοικοδομηθεί, προβλέπουν ότι τα επόμενα 50 χρόνια ο πληθυσμός της πόλης θα είναι κάτω από 30.000. Οι περισσότεροι κάτοικοι θα μετακομίσουν σε διπλανές περιοχές, πολλά σχολεία θα κλείσουν λόγω της μείωσης μαθητών ενώ και η οικονομία υπό στην αστάθεια που έχει δημιουργηθεί πρόκειται να παρουσιάσει ύφεση. Σε βάθος 50 χρόνων, το «σύστημα» των 50.001 κατοίκων παρουσιάζει τεράστια απόκλιση από το αρχικό σύστημα των 50.000 κατοίκων.

Για κάποια χρόνια, τα δύο «συστήματα» προχωρούσαν παράλληλα. Μετά από κάποια στιγμή όμως, την στιγμή που υπήρξε η δράση του βομβιστή, τα δύο «συστήματα» άρχισαν ελαφρά να αποκλίνουν. Στην πορεία η απόκλιση έγινε αρκετά μεγαλύτερη και σε βάθος 50 χρόνων η διαφορά ήταν χαώδης.

Μια μικρή αλλαγή στον πληθυσμό οδήγησε το «σύστημα» σε δύο τελείως διαφορετικά αποτελέσματα. Είναι όμως αυτό εφικτό στην πραγματικότητα; Μπορεί μια πολύ μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες ενός «συστήματος» να ανατρέψει τελείως τις προβλέψεις που έχουν γίνει για αυτό;

Το φαινόμενο της πεταλούδας

Ο Λόρεντζ ήταν μετεωρολόγος στη δεκαετία του 60’, τότε που οι υπολογιστές ήταν τεράστια άκομψα μηχανήματα και οι δυνατότητες τους περιορισμένες. Ο Λόρεντζ είχε την φιλοδοξία να προβλέπει τα καιρικά φαινόμενα για μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα από αυτά που συνηθίζονταν τότε. Όντας παράλληλα μαθηματικός, δημιούργησε εξισώσεις που σε συνάρτηση με τα καθημερινά καιρικά φαινόμενα του έδιναν αριθμούς 6 δεκαδικών ψηφίων, μέσω των οποίων θα επιχειρούσε να προβλέψει τον καιρό για τους επόμενους μήνες.

Για συντομία, δεν χρησιμοποιούσε και τα 6 δεκαδικά ψηφία αλλά μόνο τα  3 πρώτα πιστεύοντας ότι η απόκλιση που θα είχε στις προβλέψεις του θα ήταν απειροελάχιστη. Στην πορεία όμως παρατήρησε, ότι οι αριθμοί των 3 δεκαδικών ψηφίων και οι αριθμοί των 6 δεκαδικών ψηφίων παρουσίαζαν γραφήματα πρόβλεψης του καιρού με τεράστιες αποκλίσεις σε βάθος χρόνου. Μέχρι κάποιο σημείο, οι δύο γραφικές παραστάσεις είχαν σχεδόν παρόμοιες καμπύλες, όμως στην συνέχεια άρχιζαν να αποκλίνουν σε σημαντικό βαθμό η μία από την άλλη μέχρι που αρκετά αργότερα δεν παρουσίαζαν καμία ομοιότητα.

Αυτό που άλλαζε ο Λόρεντζ, ήταν ότι στο ένα γράφημα θα χρησιμοποιούσε για παράδειγμα τον αριθμό 0,604234 ενώ στο άλλο τον αριθμό 0,604. Αυτή η διαφορά που φαινόταν ασήμαντη ανάμεσα στους δύο αριθμούς, οδήγησε σε μία θεωρία που θα ανέστρεφε οριστικά κάποιες αντιλήψεις των μαθηματικών. Μέχρι τότε κυριαρχούσε η άποψη ότι οι πολύ μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες ενός πειράματος, θα πρέπει να φέρουν εξίσου μικρές αλλαγές στο αποτέλεσμα του.

Η μεγάλη απόκλιση όμως  στα γραφήματα του Λόρεντζ γέννησαν αυτό που σήμερα έχει γίνει γνωστό ως το φαινόμενο της πεταλούδας. Ότι δηλαδή σε ένα σύστημα, μία μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες θα μπορούσε να δημιουργήσει στο «σύστημα» τεράστιες αποκλίσεις στο αποτέλεσμα που αναμένεται. Το πιο συνηθισμένο παράδειγμα που χρησιμοποιείται για να εξηγηθεί αυτό, πολλές φορές όμως όχι με σωστό τρόπο, είναι ότι αν μια πεταλούδα κουνήσει τα φτερά της στο Μεξικό, κάτω από συγκεκριμένες ατμοσφαιρικές συνθήκες, τότε το αποτέλεσμα αυτής της κίνησης σε συνδυασμό με τις αλληλεπιδράσεις που θα προκύψουν στην ατμόσφαιρα μπορεί να είναι η πρόκληση ενός τυφώνα στην Αμερική.

Η θεωρία του χάους

Το χάος στο μυαλό των περισσότερων ανθρώπων είναι μία λέξη με αρνητική σημασία. Δηλώνει την αταξία, την διάλυση, την αναρχία. Στα μαθηματικά η έννοια του χάους είναι κάπως διαφορετική. Ταυτίζεται με την ευαίσθητη εξάρτηση ενός συστήματος από τις αρχικές του συνθήκες.

Ο πιο διαδεδομένος ορισμός για το χάος διατυπώθηκε από τον Devaney και έχει ως εξής:

Ένα σύστημα χαρακτηρίζεται ως χαοτικό όταν

(α) η συμπεριφορά του παρουσιάζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες

(β) είναι τοπολογικά μεταβατικό

(γ) εμφανίζει ένα πυκνό σύνολο που αποτελείται από όλες τις περιοδικές τροχιές του συστήματος.

Το πρώτο κομμάτι του ορισμού, η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, είναι γνωστό ως το φαινόμενο της πεταλούδας. Σημαίνει ότι το κάθε σημείο σε ένα χαοτικό σύστημα είναι αυθαίρετα στενά προσεγγίσιμο από άλλα σημεία, τα οποία όμως έχουν σημαντικά διαφορετικές μελλοντικές τροχιές. Δηλαδή, μια ελάχιστα μικρή διαταραχή της τρέχουσας πορείας ενός συστήματος θα μπορούσε να οδηγήσει σε σημαντικά διαφορετική μελλοντική τροχιά του.

Στο παράδειγμα του βομβιστή, η δράση ενός ατόμου σε ένα σύνολο 50.000 ανθρώπων δεν θα έπρεπε να επηρεάζει τόσο την μελλοντική πορεία της πόλης. Οι αντιδράσεις όμως των κατοίκων που ακολούθησαν του χτυπήματος, ο ανεπαρκής μηχανισμός της πόλης να προστατευτεί από τέτοια φαινόμενα και οι αρνητικές εκτιμήσεις που έγιναν από τους αναλυτές το επόμενο διάστημα, συνέβαλαν έτσι ώστε να οδηγηθεί η ανάπτυξη της πόλης σε διαφορετική τροχιά από αυτή που είχε εκτιμηθεί πριν το χτύπημα.

Πολλά οικονομικά συστήματα έχουν καταρρεύσει όχι επειδή κάτι πολύ μεγάλο και αρνητικό συνέβη  στο εσωτερικό τους, αλλά επειδή δεν μπορούσαν να προβλέψουν τις πολλές μικρές διαταραχές, οι οποίες σε βάθος χρόνου απέκλιναν το σύστημα από τις εκτιμήσεις που είχαν γίνει για αυτό. Το κούνημα των φτερών μιας πεταλούδας δεν μπορεί να προκαλέσει έναν τυφώνα. Είναι μια αρκετά ασήμαντη αλλαγή στην ατμόσφαιρα για να δημιουργήσει κάτι τόσο μεγάλο.

Οι πολλές όμως ασήμαντες αλλαγές κάτω από συνθήκες που ούτε μπορούν να προβλεφθούν ούτε να υπολογιστούν με ακρίβεια είναι πιθανό να οδηγήσουν ένα σύστημα όπως αυτό της ατμοσφαίρας, στο οποίο ανάμεσα σε άλλα εντάσσονται και οι πεταλούδες, σε μη προβλέψιμες τροχιές.