Το παράδοξο του Monty Hall και η απόδραση του φυλακισμένου...

Μέσα σε ένα δωμάτιο μιας φυλακής βρίσκονται δύο άνθρωποι. Ο ένας είναι φύλακας και ο άλλος ένας κρατούμενός του. Στο δωμάτιο υπάρχουν επίσης 100 πόρτες, κάθε μία από τις οποίες οδηγεί σε κάποιο άλλο χώρο. Οι 99 πόρτες καταλήγουν σε ένα κελί απομόνωσης, ενώ μία πόρτα οδηγεί στην  έξοδο μέσω της οποίας ο κρατούμενος μπορεί να διαφύγει. Ο φύλακας ζητάει από τον κρατούμενο να επιλέξει μία από τις 100 πόρτες έχοντας συμφωνήσει ότι αν ο κρατούμενος βρει την έξοδο τότε θα περάσει ελεύθερος το υπόλοιπο της θητείας του.

Ο κρατούμενος επιλέγει τυχαία μία πόρτα. Ο φύλακας, ο οποίος ξέρει σε ποια πόρτα βρίσκεται η έξοδος και δεν τον ενδιαφέρει αν ο κρατούμενος φυλακιστεί ή ελευθερωθεί, ανοίγει μία από τις υπόλοιπες πόρτες η οποία οδηγεί σε κάποιο από τα κελιά. Έπειτα, και ενώ τώρα υπάρχουν στο δωμάτιο 99 κλειστές πόρτες, ρωτάει τον κρατούμενο αν θέλει να αλλάξει την πόρτα που επέλεξε στην αρχή με κάποια από τις υπόλοιπες που έχουν απομείνει. Ανεξάρτητα από την απάντηση του κρατουμένου, ο φύλακας θα επαναλάβει την ίδια διαδικασία σε κάθε γύρο, μέχρι να μείνουν στο δωμάτιο δύο κλειστές πόρτες.

Ο κρατούμενος μέχρι αυτό το σημείο, καλώς ή κακώς, έχει διατηρήσει την πόρτα που επέλεξε στο ξεκίνημα του παιχνιδιού και τώρα ο φύλακας, με δύο πόρτες να έχουν απομείνει κλειστές στο δωμάτιο, τον ρωτάει για τελευταία φορά αν θέλει να αλλάξει την επιλογή του πριν αποκαλύψει που βρίσκεται η έξοδος.

Ο φυλακισμένος τώρα βρίσκεται σε ένα δίλημμα. Για 98 γύρους έχει διατηρήσει την ίδια πόρτα, η οποία τον έχει οδηγήσει στο σημείο να είναι «50-50» πλέον η πιθανότητα να ξαναφυλακιστεί ή να ελευθερωθεί. Πρέπει να αλλάξει την επιλογή του ή όχι;

Το παράδοξο του Monty Hall

Monty Hall. Καναδός τηλεπαρουσιαστής το παιχνίδι του οποίου πριν λίγα χρόνια έμελλε να προβληματίσει τους μαθηματικούς. Γεννήθηκε στις 25 Αυγ 1921 στον Καναδά, παρουσίαζε επί σειρά ετών ένα από τα πιο επιτυχημένα προγράμματα της Αμερικανικής τηλεόρασης και το όνομα του συνδέθηκε με ένα από τα δημοφιλέστερα μαθηματικά παράδοξα.

Το παράδοξο του Monty Hall αναφέρεται στη λανθασμένη στρατηγική των παικτών σε ένα παιχνίδι τύχης. Συγκεκριμένα, στο τηλεπαιχνίδι «Let’s Make a Deal» που παρουσίαζε ο Καναδός. Σε αυτό, ένας παίκτης καλούταν να επιλέξει ανάμεσα σε τρεις πόρτες εκείνη που έκρυβε το αυτοκίνητο. Οι υπόλοιπες δύο πόρτες ήταν κενές και αν ο παίκτης διάλεγε μία από αυτές δεν κέρδιζε τίποτα.

Φαίνεται με μια πρώτη ματιά ότι η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει το αυτοκίνητο στο συγκεκριμένο παιχνίδι είναι 1/3, δηλαδή 33.33%. Αυτό θα συνέβαινε αν ο παίκτης διάλεγε μία πόρτα και ο παρουσιαστής αυτομάτως αποκάλυπτε το περιεχόμενό της. O Monty Hall όμως δεν έπαιζε έτσι το παιχνίδι. Αφού ο παίκτης επέλεγε την πόρτα του, ο Monty Hall πάντα θα άνοιγε κάποια από τις άλλες δύο. Για λόγους τηλεθέασης το περιεχόμενο της  πόρτας που άνοιγε πρώτα ο παρουσιαστής δεν ήταν το αυτοκίνητο. Έπειτα ο Monty Hall, όπως και ο φύλακας, θα ρωτούσε τον παίκτη αν θα ήθελε να αλλάξει την πόρτα που είχε επιλέξει αρχικά με την άλλη που έχει απομείνει στο παιχνίδι. Και σε αυτό το σημείο, ο παίκτης βρισκόταν περίπου στο ίδιο δίλημμα με τον κρατούμενο.

Η εξήγηση

Φαινομενικά, με δύο πόρτες στο παιχνίδι θα έπρεπε η κάθε πόρτα να έχει 50% πιθανότητα να αποκαλύψει αυτό που θέλει να δει ο παίκτης. Δεν είναι όμως έτσι. Το ποσοστό αυτό επηρεάζεται από το γεγονός ότι τόσο ο φύλακας όσο και ο Monty Hall ήξεραν που βρίσκεται το έπαθλο.

Ο κρατούμενος, όταν κλήθηκε να διαλέξει πρώτη φορά πόρτα, είχε 1% πιθανότητα να βρει τη έξοδο χωρίς να ξέρει ότι στη συνέχεια ο φύλακας θα ανοίγει στοχευμένα πόρτες με κελιά. Μπορεί στο τέλος να έχουν μείνει δύο πόρτες όμως η επιλογή τους δεν έγινε τυχαία. Η μία είναι αυτή που διάλεξε από την αρχή ο κρατούμενος ενώ η άλλη, είναι αυτή που αποφάσισε να κρατήσει μέχρι το τέλος ο φύλακας. Ποια είναι πιθανότητα ο κρατούμενος να έχει επιλέξει στην αρχή σωστά; 1%. Ποια είναι η πιθανότητα να βρισκόταν η έξοδος σε κάποια από τις άλλες πόρτες; 99%. Στην ουσία ο φύλακας ζήτησε από τον κρατούμενο να βρει την έξοδο ανάμεσα σε 99 κελιά και στη συνέχεια του διέγραψε τα 98. Οι μόνες πόρτες που δεν άνοιξε ήταν οι μόνες δύο που κατά πάσα πιθανότητα δεν μπορούσε. Η μία που είχε διαλέξει ο παίκτης και η άλλη που οδηγεί στην έξοδο.

Το αντίστοιχο συμβαίνει και στο παράδειγμα με το τηλεπαιχνίδι, μόνο που εδώ δεν υπάρχουν 100 πόρτες αλλά τρεις. Ο παίκτης, και στις δύο περιπτώσεις,  πρέπει να αλλάξει την αρχική του επιλογή επειδή έτσι θα πολλαπλασιάσει την πιθανότητα του να βρει αυτό που θέλει. Στο παράδειγμα του τηλεπαιχνιδιού, το αρχικό 33,33% που είχε ο παίκτης να βρει το αυτοκίνητο, γίνεται 66,66% αν στο δεύτερο γύρο αλλάξει την πρώτη του επιλογή. Μόνη προϋπόθεση είναι το άνοιγμα κάθε πόρτας να μην γίνεται τυχαία.

Εν κατακλείδι

Το παράδοξο του Monty Hall προέκυψε από το γεγονός ότι οι παίκτες συνήθως επέμεναν στην αρχική του απόφαση. Είτε λόγω άγνοιας είτε λόγω δεισιδαιμονίας σπάνια αξιοποιούσαν την ευκαιρία που τους έδινε το παιχνίδι ψαλιδίζοντας έτσι αρκετά τις πιθανότητές τους να κερδίσουν το έπαθλο. Το παράδοξο του Monty Hall, είναι από τα παραδείγματα που δείχνει την συμβολή που φιλοδοξεί να έχει η θεωρία των πιθανοτήτων στην χάραξη στρατηγικών αποφάσεων με στόχο την εύρεση της μέγιστης δυνατής πιθανότητας κέρδους.