Η μεγαλύτερη απάτη στην ιστορία

Μια από τις αγαπημένες συνήθειες των οικονομολόγων είναι να επινοούν φανταχτερά ονόματα και πολύπλοκους όρους. Ενώ οι περισσότερες επιστήμες επιδιώκουν να κάνουν τα σύνθετα πράγματα απλά προκειμένου μεγαλύτερη μάζα του πληθυσμού να μπορεί να τα κατανοήσει, η οικονομική επιστήμη πολλές φορές φαίνεται σαν να θέλει να πετύχει το ακριβώς αντίθετο. Δηλαδή να δείχνει αρκετά πιο πολύπλοκη και σύνθετη από ότι πραγματικά μπορεί να είναι.

Και όταν δίπλα σε ευφάνταστα ονόματα και σύνθετους οικονομικούς όρους προσθέτεις κάποια εξελιγμένα μαθηματικά μοντέλα, έναν περιορισμένο έλεγχο της αγοράς και ορισμένους άπληστους τραπεζίτες και επενδυτές, παίρνεις ένα από τα μεγαλύτερα οικονομικά σκάνδαλα που θα γνωρίσει ποτέ η παγκόσμια οικονομία.

Παρακάτω λοιπόν θα δούμε βήμα-βήμα και με όσο πιο απλό τρόπο γίνεται, πως το 2008 στην Αμερική ξέσπασε μια τεράστια κρίση εξαιτίας του μεγαλύτερου συστήματος κερδοσκοπίας που έχει στηθεί μέχρι σήμερα.

Πράξη 1

Μετά το τέλος του Ψυχρού πολέμου, μαθηματικοί και άλλοι επιστήμονες στράφηκαν προς το Χρηματιστήριο για να αναζητήσουν νέες  μορφές κερδοφορίας. Λίγο αργότερα, δημιουργήθηκαν τα «παράγωγα»(Derivatives). Τα παράγωγα είναι οικονομικά συμβόλαια μεταξύ ιδιωτών, τα οποία μπορούν να αγορασθούν ή να πουληθούν  και έχουν μια κλιμακούμενη οικονομική αξία. Η αξία τους καθορίζεται από το αντικείμενο για το οποίο δημιουργήθηκαν και επηρεάζεται από αρκετούς παράγοντες, φυσικούς ή μη.

Για παράδειγμα ένας ελαιοπαραγωγός θα μπορούσε να δημιουργήσει ένα παράγωγο για τη σοδειά λαδιού που θα πουλήσει την επόμενη χρονιά βασιζόμενος στις τιμές λαδιού της φετινής σεζόν. Επενδυτές θα αγόραζαν πιθανότατα το συγκεκριμένο παράγωγο εξασφαλίζοντας στον παραγωγό ότι θα καταφέρει να πουλήσει τη σοδειά του επόμενου έτους στην τιμή της φετινής αξίας του λαδιού.

Οι επενδυτές από τη μεριά τους αγοράζουν το παράγωγο επειδή προσδοκούν ότι θα αυξηθεί η τιμή του λαδιού οπότε θα μπορούν  να πουλήσουν μελλοντικά σε υψηλότερες τιμές το συγκεκριμένο «συμβόλαιο» αποκομίζοντας το αντίστοιχο κέρδος. Αν όμως η τιμή του λαδιού μειωθεί, οι επενδυτές θα χάσουν αντίστοιχα μέρος των χρημάτων τους.

Για τον παραγωγό λαδιού, το παράγωγο είναι μία «εξασφάλιση» της σοδειάς του, για τους επενδυτές είναι ένα ρίσκο που δέχονται να πάρουν με στόχο το κέρδος.

Πράξη 2

Η Αμερικανική κυβέρνηση προχώρησε σταδιακά σε ελαχιστοποίηση των ελέγχων στην αγοραπωλησία «παραγώγων» δημιουργώντας  στις αρχές του 2000 μια αρκετά ελεύθερη αγορά γύρω από αυτά.

Πράξη 3

Δημιουργήθηκαν τα CDO. Τι ήταν αυτά;

Μια τράπεζα έδινε σε έναν Αμερικάνο πολίτη ένα στεγαστικό δάνειο. Μέχρι κάποιο σημείο της ιστορίας, αν ο πολίτης αδυνατούσε να πληρώσει το δάνειο, η τράπεζα θα έπαιρνε πίσω τα χρήματα μέσω πλειστηριασμού του σπιτιού του, όμως και πάλι το πιθανότερο ήταν να μην πάρει ολόκληρο το ποσό. Οπότε οι τράπεζες ήταν πολύ προσεκτικές στη χορήγηση δανείων αφού ήθελαν να εξασφαλίσουν ότι ο δανειολήπτης θα ήταν σε θέση να το αποπληρώσει.

Μετά από κάποιο σημείο της ιστορίας όμως  οι τράπεζες έπαψαν να ενδιαφέρονται για την αποπληρωμή. Ο λόγος;

Μεγάλες επενδυτικές τράπεζες αγόραζαν την υποθήκη των σπιτιών από τις τράπεζες  που χορηγούσαν τα στεγαστικά δάνεια και έτσι τις αποπλήρωναν πολύ νωρίτερα από τον δανειολήπτη. Γιατί όμως οι επενδυτικές τράπεζες επιδίωκαν και αγόραζαν αυτές τις υποθήκες; Διότι με αυτές έφτιαχναν παράγωγα!

Συγκέντρωναν εκατοντάδες τέτοια στεγαστικά δάνεια δημιουργώντας με αυτά παράγωγα και τα πουλούσαν σε επενδυτές σαν μία χαμηλού ρίσκου επένδυση. Τι ασφαλέστερο άλλωστε για έναν επενδυτή από το να ποντάρει τα χρήματα σου σε κάτι που σχετίζεται με την ακίνητη περιουσία. Πλέον το χρέος του δανειολήπτη προς την πρώτη τράπεζα η οποία του είχε χορηγήσει το δάνειο, έχει μεταφερθεί σε ιδιώτες από κάθε μεριά του κόσμου.

Τα παράγωγα αυτά ονομάστηκαν CDO (Collateralized Debt Obligations) και όσο πιο ριψοκίνδυνα ήταν τα στεγαστικά δάνεια που χορηγούνταν, τόσο μεγαλύτερη απόδοση περίμεναν από τα συγκεκριμένα παράγωγα οι επενδυτές οπότε και τα προτιμούσαν.

Πράξη 4

Οι οίκοι αξιολόγησης βαθμολογούσαν με ΑΑΑ (υψίστης ασφαλείας) την πλειονότητα των CDO. Αυτό με απλά λόγια σήμαινε ότι θεωρούσαν απόλυτα ασφαλή επένδυση για έναν ιδιώτη την αγορά των συγκεκριμένων παραγώγων. Όπως όμως προέκυψε στην πορεία, οι επενδυτικές τράπεζες συχνά δωροδοκούσαν τους οίκους αξιολόγησης προκείμενου αυτοί να δίνουν υψηλές αξιολογήσεις στα CDO τους.

Όταν έσκασε η φούσκα και οι οίκοι αξιολόγησης ρωτήθηκαν για τις κρίσεις τους, η απάντηση που έδωσαν ήταν ότι οι αξιολογήσεις αυτές είναι απλές γνώμες και δεν θα έπρεπε να λαμβάνονται τόσο σοβαρά υπόψιν από τους επενδυτές.

Η επόμενη κίνηση στην σκακιέρα έγινε από μια εταιρεία κολοσσό. Μια παγκόσμια πολυεθνική τεράστιου βεληνεκούς η οποία επινόησε μια ιδιαίτερα κερδοφόρα πολιτική, που είχε όμως μόνο βραχυπρόθεσμα οφέλη, με αποτέλεσμα αργότερα αυτή η πολιτική να γυρίσει μπούμερανγκ και να εξελιχθεί σε μια «πυρηνική βόμβα» απειλώντας τα θεμέλια όλου του σύγχρονου εμπορικού κόσμου.

Πότε θα έσκαγε αυτή η βόμβα; Η συνέχεια στην παρακάτω...

Πράξη 5

Ξεκινάει να μπαίνει δυναμικά στο παιχνίδι ένας ασφαλιστικός κολοσσός, η AIG. Αυτή ξεκίνησε να προωθεί τα «Ασφάλιστρα Ισχυρού Κινδύνου», γνωστά ως CDS (Credit Default Swaps). Τι ήταν αυτά;

Ήταν μια «ασφάλεια» για κάποιον που αγόραζε CDO. Πλήρωνε ένα ασφάλιστρο στην AIG και αν το CDO κατέρρεε η AIG θα έπρεπε να τον αποζημιώσει. Ποιο ήταν όμως εδώ το μεγαλύτερο πρόβλημα;

Ότι CDS είχαν δικαίωμα να αγοράζουν όχι μόνο οι κάτοχοι των CDO αλλά και όποιος άλλος το επιθυμούσε. Αυτό σημαίνει ότι αν κάποιο CDO κατέρρεε η AIG θα έπρεπε να πληρώσει πολλά χρήματα σε αποζημιώσεις, ακόμη και για ιδιώτες που δεν είχαν ρισκάρει με την αγορά  του CDO αλλά είχαν αγοράσει μόνο το αντίστοιχο CDS.

Ήταν σαν ασφαλίζουν πάρα πολλοί άνθρωποι το ίδιο σπίτι και όταν αυτό καίγεται να μπορούν όλοι αυτοί να αποζημιωθούν. Γιατί λοιπόν κάποιος που δεν του ανήκει το σπίτι, να μην προκαλέσει ο ίδιος την φωτιά;

Μέσω των CDS δόθηκε η δυνατότητα σε πολλούς κερδοσκόπους να ποντάρουν στην κατάρρευση των CDO.

Πράξη 6

Οι επενδυτικές τράπεζες αρχίζουν να αγοράζουν και οι αυτές τα CDS της AIG για τα παράγωγα CDO που οι ίδιες πουλούσαν. Δηλαδή προωθούσαν στους πελάτες τους CDO, τους τα πουλούσαν σαν κάτι ασφαλές και έπειτα «πόνταραν εναντίον αυτών» αγοράζοντας τα CDS.

Αφενός έτσι η επενδυτική αποκόμιζε κέρδη από την πώληση των παραγώγων και αφετέρου επιδίωκε σε βάθος χρόνου την κατάρρευση αυτών των CDO για να αποζημιωθούν. Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα να θέλουν να φτιάχνουν CDO «σκουπίδια» (περιελάμβαναν σε αυτά κυρίως δάνεια υψηλού κινδύνου) που εκτιμούσαν ότι κάποια στιγμή θα καταρρεύσουν και θα αποζημιωθούν οι ίδιες αφού όμως πρώτα θα τα έχουν πουλήσει.

Πράξη 7

Τα πολλά στεγαστικά δάνεια και η ευκολία στη χορήγηση τους οδήγησε στα ύψη τις τιμές των ακινήτων. Όταν όμως λίγα χρόνια μετά εκτοξεύθηκαν οι πλειστηριασμοί από τα μη εξυπηρετούμενα δάνεια, οι τιμές των ακινήτων άρχισαν να υποχωρούν με τρομερούς ρυθμούς.

Πολλοί δανειολήπτες πλέον δεν ήταν σε θέση να αποπληρώσουν τα δάνεια τους και σε συνδυασμό με τους μαζικούς πλειστηριασμούς προκλήθηκε κατακόρυφη ρίψη των τιμών της ακίνητης περιουσίας που οδήγησε σε αδιέξοδο: Τα στεγαστικά δάνεια δεν θα μπορούσαν να αποπληρωθούν στο έπακρο τους. Αυτό τι άλλο  προκάλεσε;

Προφανώς την κατάρρευση των CDO. Από την στιγμή που τα στεγαστικά δάνεια ξεκίνησαν να παρουσιάζουν «τρύπες», η αξία των CDO άρχισε να κατρακυλά και αυτή.

Πράξη 8

Αλυσιδωτές αντιδράσεις.Τράπεζες που χορηγούσαν στεγαστικά δάνεια υψηλού κινδύνου ξαφνικά ξέμειναν με πολλά από αυτά αφού οι επενδυτικές τράπεζες δεν ήθελαν πλέον να τα αγοράζουν. Οι επενδυτικές με τη σειρά τους  είχαν δανειστεί στο σύντομο παρελθόν τεράστια ποσά για να αγοράσουν στεγαστικά δάνεια και να φτιάξουν CDO όμως ούτε και αυτές είχαν προλάβει να τα πουλήσουν όλα.

Η επενδυτική Bear Stearn ήταν η πρώτη το Μάρτιο του 2008 που ξέμεινε από ρευστό. Τον Σεπτέμβριο του ίδιου έτους η Lehman Brothers (άλλη επενδυτική) χρεοκόπησε σοκάροντας την παγκόσμια οικονομία. Την ίδια ώρα ο κολοσσός AIG ήταν και αυτός στα πρόθυρα της χρεοκοπίας, σώθηκε από την Αμερικανική Κυβέρνηση και ένα τεράστιο ποσό των Αμερικανών φορολογούμενων πολιτών  δόθηκε για την αποπληρωμή των ασφαλίσεων CDS.

Κατακλείδα

Στελέχη επενδυτικών τραπεζών και της AIG αποκόμισαν εξωπραγματικά ποσά μέσω των bonus για τα CDO και CDS που πουλούσαν αντίστοιχα. Όταν αργότερα έσκασε η φούσκα των στεγαστικών δανείων, οι επενδυτικές τράπεζες και γενικότερα το παγκόσμιο τραπεζικό σύστημα έφθασε στα όρια της κατάρρευσης, όμως συγκεκριμένοι άνθρωποι και στελέχη επιχειρήσεων είχαν ήδη αυξήσει κατά πολύ τους τραπεζικούς τους λογαριασμούς. Η κρίση αυτή δημιούργησε τη μεγαλύτερη οικονομική ύφεση που γνώρισε ποτέ ο κόσμος.

Τα παράγωγα, που με μαθηματικά κυρίως εργαλεία προσπαθεί κάποιος να κρίνει την αξία τους και την απόδοση που μπορεί να έχει από αυτά σε βάθος χρόνου, έγιναν μέσω της απελευθέρωσης της αγοράς ένα σύστημα κερδοφορίας και αισχροκέρδειας που παρόμοιο του δεν είχε προηγηθεί.

Ακολούθησαν δεκάδες δικαστικές διαμάχες και εξεταστικές επιτροπές για αυτούς που θεωρήθηκαν υπαίτιοι της κρίσης όμως η υπερασπιστική τους γραμμή ήταν ότι η αγορά είναι ανεξέλεγκτη και ότι μπορούν να συμβούν λάθη και «ατυχήματα», όπως ισχυρίστηκαν ότι συνέβη και σε αυτή την κρίση.

Όλα τα παραπάνω μπορεί κάποιος να τα αναζητήσει αναλυτικότερα και με πιο συγκεκριμένες πληροφορίες σε χιλιάδες άρθρα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο, σε βιβλία που έχουν δημοσιευθεί για το θέμα καθώς και σε διάφορα ντοκιμαντέρ όπως το Inside job, το οποίο με ένα πιο Χολυγουντιανό στυλ επιχειρεί να δώσει φως (με κάποιες ανακρίβειες και υπερβολές προφανώς) σε μια από τις πιο "άτυχες" στιγμές της οικονομίας.

Στο παραπάνω κείμενο έγινε προσπάθεια για  την μεγαλύτερη δυνατή συμπύκνωση πληροφοριών που εξηγεί την κρίση του 2008. Προφανώς και δεν γίνεται ένα μόνο κείμενο να καλύψει όλη την έκταση, τις αιτίες και τις προεκτάσεις της.

Διαβάστε Περισσότερα »

«Το πρόβλημα της γραμματέως»: Ο διασημότερος γρίφος βέλτιστης διακοπής

Ένας διευθυντής αναζητά την καλύτερη υποψήφια για την κάλυψη της θέσης της γραμματέα του γραφείου του κανονίζοντας μια σειρά συνεντεύξεων προκειμένου να γνωριστεί μαζί τους. Ο διευθυντής πρέπει να αποφασίσει μετά από κάθε συνέντευξη αν θα προσλάβει ή όχι την υποψήφια την οποία έχει καλέσει την δεδομένη χρονική στιγμή.

Δεν έχει την δυνατότητα να προσλάβει κάποια υποψήφια που είχε απορρίψει σε προηγούμενη συνέντευξη ούτε έχει κάποια πληροφορία για τις υποψήφιες με τις οποίες θα συναντηθεί στο μέλλον.

Το ερώτημα είναι ποια «στρατηγική» θα πρέπει να ακολουθήσει ο διευθυντής προκειμένου να προσλάβει την κορυφαία από τις ν-υποψήφιες που έχουν αιτηθεί για τη θέση. Θεωρείται δεδομένο ότι ο διευθυντής δεν έχει καμία γνώση για τις ικανότητες κάθε υποψήφιας πριν συναντηθεί μαζί τους και ότι ο μοναδικός του στόχος είναι να αυξήσει την πιθανότητα να προσλάβει την απολύτως καλύτερη ανάμεσα σε όλες.

Ο κανόνας  του 37%

Το παραπάνω πρόβλημα ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων βέλτιστης διακοπής, μιας πολύ μεγάλης κατηγορίας προβλημάτων στον κλάδο της επιχειρησιακής έρευνας. Η αναζήτηση της καλύτερης γραμματέως μπορεί να παρομοιαστεί με την έρευνα αγοράς του καλύτερου ακινήτου ανάμεσα σε έναν μεγάλο αριθμό ακινήτων προς πώληση ή την αποδοχή της καλύτερης προσφοράς όταν είμαστε εμείς οι πωλητές σε κάποιο αγαθό ή ακόμη και με την εύρεση κατάλληλου συντρόφου ή συνεργάτη.

Το πρόβλημα της γραμματέως κίνησε στα μέσα του 20ου αιώνα το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών καθώς βρίσκει εφαρμογή σε πολλές καταστάσεις στην καθημερινότητα των ανθρώπων. Πως μπορεί κάποιος να ξεχωρίσει την καλύτερη δυνατή ευκαιρία που πρόκειται να του παρουσιαστεί, όταν δεν έχει καν ακόμη την δυνατότητα να γνωρίζει τι ακριβώς θα του προσφέρει η κάθε μία από αυτές ώστε να μπορέσει με ασφάλεια να τις αξιολογήσει και να προκρίνει την καλύτερη.

Όταν λοιπόν βρισκόμαστε σε μία τέτοια κατάσταση, δηλαδή στην προσπάθεια να επιλέξουμε το καλύτερο δυνατό σενάριο ανάμεσα σε ν-τυχαία σενάρια για τα οποία γνωρίζουμε ελάχιστα, τα μαθηματικά λένε ότι θα είμαστε πιο κοντά στην επιλογή του καλύτερου σεναρίου αν στην αρχή απορρίψουμε το 37% των πρώτων χρονικά που θα μας παρουσιαστούν.

Στο πρόβλημα της γραμματέως, ο διευθυντής θα μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να βρει την ικανότερη για την θέση υποψήφια, αν πρώτα απορρίψει το 37% των υποψηφίων με το οποίο θα συναντηθεί. Έπειτα, θα πρέπει απλά να προσλάβει την πρώτη που θα είναι καλύτερη από όσες έχει συναντήσει μέχρι εκείνη την στιγμή.

Δηλαδή, αν έχει κανονίσει 100 συνεντεύξεις με υποψήφιες, θα πρέπει να προσλάβει την καλύτερη που θα συναντήσει μετά το 37ο ραντεβού.

Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να αγνοήσει χωρίς δεύτερη σκέψη 37 υποψήφιες (στις οποίες ανάμεσα τους υπάρχει ο κίνδυνος να βρίσκεται και η καλύτερη) προκειμένου να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να προσλάβει αυτή με τα καλύτερα προσόντα. Μάλιστα, αν ακολουθήσει την συγκεκριμένη στρατηγική, η πιθανότητα να προσλάβει την καλύτερη για την θέση είναι 37%, όσο είναι δηλαδή και το ποσοστό των υποψήφιων που θα πρέπει να απορρίψει στο πρώτο στάδιο της αναζήτησης. Και αυτή αν μη τι άλλο είναι μια ενδιαφέρουσα συμμετρία για το πρόβλημα!

Ο υπολογισμός του 1/e

Μαθηματικά, το 37% προκύπτει από τον λόγο 1/e. Η πιθανότητα p να επιλέξει ο διευθυντής την καλύτερη υποψήφια ανάμεσα σε ν-υποψήφιες έχοντας βγάλει αρχικά συμπεράσματα από τις κ-πρώτες υποψήφιες, προσεγγίζεται από την συνάρτηση -p∙logp, η οποία μεγιστοποιείται στο p=1/e. Το e ισούται με 2,718… οπότε παίρνουμε p≈0,37=37%.

Με βάση το παραπάνω, ο διευθυντής έχει 37% πιθανότητα να βρει την καλύτερη υποψήφια και 63% να μην την βρει! Το 63% σίγουρα φαντάζει κάπως μεγάλο για πιθανότητα αποτυχίας ώστε να μας ικανοποιεί μια τέτοια κατάσταση, όμως αν διαλέγαμε τυχαία μία από τις 100 υποψήφιες, η πιθανότητα να διαλέγαμε την καλύτερη θα ήταν μόλις 1%.

Από την άλλη, η μέθοδος του 37% δίνει τα ίδια αποτελέσματα όσο και αν μεγαλώσει η δεξαμενή των υποψηφίων. Αυτό είναι εντυπωσιακό αν σκεφτούμε το εξής παράδειγμα: Αν έπρεπε να επιλέξουμε τον εξυπνότερο άνθρωπο ανάμεσα στους 7 δισεκατομμύρια που κατοικούν τον πλανήτη, θα έπρεπε απλά να απορρίψουμε το 37% των πρώτων που θα συναντήσουμε και αφού έπειτα επιλέξουμε από τους επόμενους τον πιο έξυπνο μέχρι εκείνη την στιγμή, θα είχαμε 37% πιθανότητες αυτός να είναι και ο εξυπνότερος άνθρωπος πάνω στη Γη.

Εν κατακλείδι

Το πρόβλημα της γραμματέως απαντάται με μία «όλα ή τίποτα» λύση. Αν η καλύτερη υποψήφια βρίσκεται στο 37% που απορρίπτουμε εξ ορισμού, τότε δεν θα βρούμε καμία καλύτερη στη συνέχεια οπότε θα αναγκαστούμε να προσλάβουμε την τελευταία υποψήφια που θα συναντήσουμε. Αυτή μπορεί να είναι χειρότερη από όλες τις προηγούμενες ή στην καλύτερη περίπτωση μπορεί να είναι η δεύτερη πιο ικανή (η πρώτη ήταν στο 37%). Όμως στο συγκεκριμένο πρόβλημα, τον διευθυντή τον ενδιαφέρει μόνο η καλύτερη. Δηλαδή αν αποτύχει να βρει αυτή, όλες οι υπόλοιπες θα τον αφήσουν με τον ίδιο βαθμό ικανοποίησης.

Φυσικά κάτι τέτοιο στις περισσότερες καταστάσεις της καθημερινότητα μας δεν μπορεί να θεωρηθεί ρεαλιστικό. Οι περισσότεροι διευθυντές θα ήταν ικανοποιημένοι αν ανάμεσα στις 100 υποψήφιες μπορούσαν να προσλάβουν κάποια από τις 10 ή ακόμη και τις 20 καλύτερες.

Παρόλα αυτά, η μέθοδος του 37% μπορεί να διδάξει πράγματα. Η ιδέα του να εξετάσουμε πρώτα ορισμένες επιλογές που έχουμε είναι σοφότερη από το να διαλέξουμε την πρώτη που θα μας παρουσιαστεί. Δεν αγοράζεις το πρώτο σπίτι που βλέπεις σε αγγελία, δεν πουλάς το αυτοκίνητο σου στην πρώτη προσφορά που δέχεσαι, δεν παντρεύεσαι τον πρώτο άνθρωπο που γνωρίζεις. Πειράματα που έγιναν βασισμένα στο πρόβλημα της γραμματέως  έχουν δείξει ότι συνήθως οι άνθρωποι διαλέγουν λίγο πιο γρήγορα από τον κανόνα του 37%. Κάποιοι άλλοι αντίθετα καθυστερούν περισσότερο από όσο πρέπει.

Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα φιλοδοξεί να δώσει μια ισορροπία σε αυτό, δηλαδή πότε πρέπει στατιστικά κάποιος να πάρει μια απόφαση και ανεξάρτητα με το αν είναι πετυχημένη ή αποτυχημένη, να μην μπορεί να θεωρηθεί βιαστική ή καθυστερημένη η επιλογή του.

Διαβάστε Περισσότερα »

Γιατί ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν μπορεί να συλλάβει το άπειρο

Εισαγωγή στο άπειρο

Τι κοινό έχουν οι αριθμοί 1,2,3,4,5...; Ονομάζονται όλοι φυσικοί. Ο προσδιορισμός των αριθμών αυτών με τον όρο «φυσικός» δεν γίνεται τυχαία καθώς είναι οι αριθμοί που συναντάμε συχνότερα στη φύση και γίνονται ευκολότερα αντιληπτοί από τον ανθρώπινο εγκέφαλο. Οποιοσδήποτε άλλος αριθμός πέρα των φυσικών δεν είναι το ίδιο εύκολο να κατανοηθεί από την ανθρώπινη νόηση.

Σε απόδειξη του προηγούμενου, καινοτόμοι μαθηματικοί της αρχαιότητας και των νεότερων χρόνων που παρατήρησαν ότι οι φυσικοί αριθμοί ίσως δεν είναι οι μόνοι που υπάρχουν, αποδοκιμάστηκαν, απαξιώθηκαν και κάποιοι εξ αυτών δεν είχαν και την καλύτερη κατάληξη μετά την ανακάλυψη τους. Όπως ο Ίππασος, μαθητής του Πυθαγόρα, ο οποίος λέγεται ότι δολοφονήθηκε επειδή παρατήρησε την ύπαρξη των άρρητων αριθμών. Μια έννοια που δεν μπορούσε να κατανοήσει τότε ούτε ο ίδιος ο... Πυθαγόρας, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και φιλοσόφους της Ιστορίας.

Αν την ίδια στιγμή σκεφτούμε ότι οι αρνητικοί αριθμοί έγιναν αποδεκτοί στην Ευρώπη γύρω στον 17ο αιώνα μ.Χ, καταλαβαίνουμε ότι η αποδοχή της ύπαρξης άπειρων πραγματικών αριθμών θα πρέπει να θεωρείται κάτι ριζοσπαστικό. Μην ξεχνάμε ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι προγραμματισμένος να αντιλαμβάνεται έναν 3-διαστατο κόσμο πεπερασμένων χρονικά καταστάσεων, με βασικότερο παράδειγμα την διάρκεια της ίδιας της ζωής.

Για να γίνει ευκολότερα κατανοητό το… μέγεθος του απείρου, ο Hilbert, ένας Γερμανός μαθηματικός του 19ου αιώνα, διατύπωσε το παράδειγμα ενός ξενοδοχείου με άπειρη χωρητικότητα.

Το ξενοδοχείο με τα άπειρα δωμάτια

Ένα ξενοδοχείο αποτελείται από άπειρα δωμάτια και άπειρους ορόφους. Όταν σε κάποια χρονική στιγμή το ξενοδοχείο θωρείται «πλήρες»,  στην υποδοχή καταφθάνει άλλος ένας πελάτης. Μιας και το ξενοδοχείο διατηρεί την φήμη ότι έχει άπειρη χωρητικότητα δεν μπορεί ποτέ να θεωρηθεί «απολύτως πλήρες» οπότε ο ξενοδοχοϋπάλληλος πρέπει να βρει ένα δωμάτιο να διαθέσει στον νέο πελάτη. Όμως το γεγονός ότι έχει ήδη δοθεί άπειρος αριθμός δωματίων κάνει δύσκολο τον εντοπισμό του πρώτου διαθέσιμου αριθμημένου δωματίου για να  τοποθετηθεί εκεί ο νέος επισκέπτης.

Αυτό που σκέφτεται τελικά ο υπάλληλος, είναι να ελευθερώσει το δωμάτιο «1», μετατοπίζοντας τον πελάτη που διαμένει εκεί στο δωμάτιο «2». Αντίστοιχα, τον πελάτη του «2» τον στέλνει στο δωμάτιο «3». Αυτό το κάνει με όλους τους πελάτες και αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια για να ικανοποιηθούν όλοι, ο καθένας βρίσκεται μετατοπισμένος στο δωμάτιο «ν+1» από το «ν» που διέμενε αρχικά. Τώρα το δωμάτιο «1» είναι διαθέσιμο να υποδεχτεί τον νέο του επισκέπτη.

Αντίστοιχα, αν για παράδειγμα έρθουν στο ξενοδοχείο 100 νέοι πελάτες, τότε κάθε ένας από τους παλιούς θα μετακομίσει στο δωμάτιο «ν+100» ώστε τα 100 πρώτα αριθμημένα δωμάτια να δοθούν στους νέους πελάτες. Αυτό συμβαίνει για τον απλούστατο λόγο ότι ο ξενοδοχοϋπάλληλος δεν μπορεί να γνωρίζει, έχοντας θεωρητικά δεσμεύσει ήδη άπειρο αριθμό δωματίων, σε ποιο δωμάτιο πρέπει να στείλει τους νέους επισκέπτες μιας και τα δωμάτια μέχρι και το… άπειρο θεωρούνται κατειλημμένα.

Τι θα συμβεί όμως τώρα αν ξαφνικά, αντί για ένα καινούριο πελάτη, φθάσει στο ξενοδοχείο ένα λεωφορείο μέσα στο οποίο υπάρχουν άπειροι το πλήθος καινούριοι πελάτες; Λόγω του ότι ο αριθμός των καινούριων πελατών σε αυτή την περίπτωση είναι άπειρος και όχι πεπερασμένος, η λύση της μετατόπισης των παλιότερων πελατών σε διπλανά δωμάτια δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Θα έπρεπε κάθε ένας από αυτούς να μετακομίσει στο «ν+άπειρο» δωμάτιο, κάτι το οποίο όμως δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί σαν ποσότητα.

Η ιδέα του ξενοδοχοϋπαλλήλου αυτή τη φορά είναι η εξής και βασίζεται στο θεώρημα των άπειρων άρτιων και άπειρων περιττών αριθμών: Σύμφωνα με αυτό, αφού υπάρχουν άπειροι άρτιοι και άπειροι περιττοί φυσικοί αριθμοί, θα τοποθετήσει τους παλιούς πελάτες στα δωμάτια με άρτιους αριθμούς και τους νέους σε δωμάτια με περιττούς.

Έτσι, οι παλιότεροι πελάτες θα μένουν στα δωμάτια «2», «4», «6», «8», «10»… και οι καινούριοι πελάτες στα «1», «3», «5», «7», «9»… Με τον ίδιο τρόπο, για κάθε νέο λεωφορείο άπειρων επισκεπτών που θα φθάνει στο ξενοδοχείο μπορεί να γίνεται η μετατόπιση των παλιών πελατών στα άρτια δωμάτια ώστε να ελευθερώνονται κάθε φορά αυτά με περιττό αριθμό.

Μια τρίτη περίπτωση και πιο δύσκολη από τις προηγούμενες είναι αντί για ένα λεωφορείο με άπειρους πελάτες να φθάσουν ταυτόχρονα στο ξενοδοχείο άπειρα σε αριθμό λεωφορεία τα οποία θα μεταφέρουν με τη σειρά τους άπειρους το πλήθος πελάτες το καθένα. Κάπου εδώ  αρχίζει να γίνεται σε μεγαλύτερο βαθμό αντιληπτή η δυσκολία της κατανόησης της έννοιας του απείρου την ώρα που βρισκόμαστε ακόμη απλά σε πλήθος… φυσικών αριθμών.

Ο ξενοδοχοϋπάλληλος βρίσκει και σε αυτή την περίπτωση πάντως την λύση βασιζόμενος αυτή τη φορά σε ένα άλλο θεώρημα, στο θεώρημα των άπειρων πρώτων αριθμών. Πρώτοι αριθμοί λέγονται όσοι έχουν μοναδικούς διαιρέτες την μονάδα και τον εαυτό τους. Τέτοιοι είναι οι 1,2,3,5,7, 11,13,17,... Το 4 για παράδειγμα δεν είναι πρώτος αριθμός καθώς εκτός από το 1 και το 4 διαιρείται και από το 2.

Στηριζόμενος λοιπόν στο θεώρημα της ύπαρξης άπειρων πρώτων αριθμών, ο υπάλληλος του ξενοδοχείου τοποθετεί τους πελάτες στα δωμάτια με τον εξής τρόπο:

Οι παλιότεροι πελάτες θα μετακομίσουν σε δωμάτια με αριθμό κάποια δύναμη του 2, για παράδειγμα στο δωμάτιο «2 εις την δεκάτη». Ο εκθέτης θα προκύπτει κάθε φορά από τον αριθμό του αρχικού δωματίου που κατείχε ο πελάτης. Δηλαδή ο πελάτης που διέμενε στο δωμάτιο 8, τώρα θα μετακομίσει στο δωμάτιο «2 εις την 8η», δηλαδή στο «256».

Οι καινούριοι πελάτες του πρώτου λεωφορείου θα τοποθετηθούν σε δωμάτια κάποιας δύναμης του 3. Για παράδειγμα ο πελάτης που καθόταν στην θέση 15, θα διαμείνει στο δωμάτιο «3 εις την 15η». Με τον ίδιο τρόπο, οι πελάτες του δεύτερου λεωφορείου θα διαμείνουν σε δωμάτια κάποιας δύναμης του επόμενου πρώτου αριθμού, που είναι το 5. Οι πελάτες του τρίτου λεωφορείου σε δωμάτια δύναμης του 7 και πάει λέγοντας.

Όπως προαναφέρθηκε υπάρχουν άπειροι το πλήθος πρώτοι αριθμοί οπότε πάντα θα βρίσκεται κάποιος διαθέσιμος για να «εξυπηρετήσει» το επόμενο λεωφορείο.

Λόγω του ότι η βάση σε κάθε μία από τις παραπάνω δυνάμεις είναι πρώτος αριθμός και ο εκθέτης φυσικός, δεν υπάρχει περίπτωση να προκύψει ίδιος αριθμός από τις δυνάμεις των διαφορετικών πρώτων, οπότε το δωμάτιο κάποιου πελάτη δεν μπορεί να ταυτιστεί με το δωμάτιο κάποιου άλλου.

Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται οι εξής άπειρες ακολουθίες:

(2, 2^2, 2^3, 2^4,…): αριθμοί των δωματίων των παλιότερων πελατών ανάλογα με το αρχικό τους δωμάτιο

(3, 3^2, 3^3, 3^4,…): αριθμοί των δωματίων των πελατών του πρώτου λεωφορείου ανάλογα με τη θέση τους στο λεωφορείο

(5, 5^2, 5^3, 5^4,…): αριθμοί των δωματίων των πελατών του δευτέρου λεωφορείου ανάλογα με την θέση τους στο λεωφορείο και ούτω καθεξής.

Εν κατακλείδι

 ο παράδειγμα του Hilbert καταπιάνεται μόνο με τους φυσικούς αριθμούς και το πώς αυτοί επεκτείνονται στο άπειρο. Η έννοια του απείρου όμως δεν αφορά μόνο αυτούς, αφορά όλους τους αριθμούς. Ανάμεσα στο 1 και το 2 για παράδειγμα υπάρχουν τόσοι πραγματικοί αριθμοί που αν κάποιος έπρεπε να μετρήσει όλα τα δευτερόλεπτα ζωής όλων των έμβιων οργανισμών που έχουν ζήσει ποτέ στον πλανήτη Γη, δεν θα προσέγγιζε ούτε κατά τη διάνοια το πλήθος αυτών των αριθμών.

Ανάμεσα στο 1 και το 2 υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί.  Όπως άπειροι είναι και οι ακέραιοι, οι ρητοί και οι άρρητοι, οι μιγαδικοί. Το ανθρώπινο μυαλό μπορεί να προσεγγίσει νοητικά την έννοια του απείρου όμως σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να την μελετήσει σε απόλυτο βαθμό καθώς ο όγκος πληροφοριών που περιέχει το δεύτερο είναι κατά πολύ μεγαλύτερος από αυτό που μπορεί να αφομοιώσει και να επεξεργαστεί το πρώτο.

Διαβάστε Περισσότερα »